Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35243 / 21925
↖ ↑ ↗
← N 51.051754°
E 13.595581°		 ← 383.99 m → N 51.051754°
E 13.601074°		 →
↑
383.98 m
↓
↑
383.98 m
↓
N 51.048301°
E 13.595581°		 ← 384.02 m →
147 451 m²		 N 51.048301°
E 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537773132324219 y=0.334556579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537773132324219 × 216)
    floor (0.537773132324219 × 65536)
    floor (35243.5)     		tx = 35243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334556579589844 × 216)
    floor (0.334556579589844 × 65536)
    floor (21925.5)     		ty = 21925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35243 / 21925 ti = "16/35243/21925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35243/21925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35243 ÷ 216
    35243 ÷ 65536     		x = 0.537765502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21925 ÷ 216
    21925 ÷ 65536     		y = 0.334548950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537765502929688 × 2 - 1) × π
    0.075531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23728765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334548950195312 × 2 - 1) × π
    0.330902099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03955960516054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23728765} λ = 0.23728765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03955960516054))-π/2
    2×atan(2.82797131609839)-π/2
    2×1.23090876467967-π/2
    2.46181752935935-1.57079632675     		φ = 0.89102120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23728765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.595581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89102120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.051754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35243 KachelY 21925 0.23728765 0.89102120 13.595581 51.051754
    Oben rechts KachelX + 1 35244 KachelY 21925 0.23738353 0.89102120 13.601074 51.051754
    Unten links KachelX 35243 KachelY + 1 21926 0.23728765 0.89096093 13.595581 51.048301
    Unten rechts KachelX + 1 35244 KachelY + 1 21926 0.23738353 0.89096093 13.601074 51.048301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89102120-0.89096093) × R
    6.02699999999734e-05 × 6371000     		dl = 383.980169999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89102120-0.89096093) × R
    6.02699999999734e-05 × 6371000     		dr = 383.980169999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23728765-0.23738353) × cos(0.89102120) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.628618152852086 × 6371000     		do = 383.992329024645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23728765-0.23738353) × cos(0.89096093) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.628665024539012 × 6371000     		du = 384.020960663974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89102120)-sin(0.89096093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628618152852086-0.628665024539012)×R²
    abs(0.23738353-0.23728765)×4.68716869262975e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.68716869262975e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.68716869262975e-05×40589641000000     		ar = 147450.936812887m²