Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35243 / 21866
↖ ↑ ↗
← N 51.255040°
E 13.595581°		 ← 382.30 m → N 51.255040°
E 13.601074°		 →
↑
382.32 m
↓
↑
382.32 m
↓
N 51.251601°
E 13.595581°		 ← 382.33 m →
146 169 m²		 N 51.251601°
E 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537773132324219 y=0.333656311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537773132324219 × 216)
    floor (0.537773132324219 × 65536)
    floor (35243.5)     		tx = 35243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333656311035156 × 216)
    floor (0.333656311035156 × 65536)
    floor (21866.5)     		ty = 21866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35243 / 21866 ti = "16/35243/21866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35243/21866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35243 ÷ 216
    35243 ÷ 65536     		x = 0.537765502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21866 ÷ 216
    21866 ÷ 65536     		y = 0.333648681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537765502929688 × 2 - 1) × π
    0.075531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23728765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333648681640625 × 2 - 1) × π
    0.33270263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0452161593157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23728765} λ = 0.23728765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0452161593157))-π/2
    2×atan(2.84401321716439)-π/2
    2×1.2326827623219-π/2
    2.4653655246438-1.57079632675     		φ = 0.89456920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23728765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.595581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89456920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.255040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35243 KachelY 21866 0.23728765 0.89456920 13.595581 51.255040
    Oben rechts KachelX + 1 35244 KachelY 21866 0.23738353 0.89456920 13.601074 51.255040
    Unten links KachelX 35243 KachelY + 1 21867 0.23728765 0.89450919 13.595581 51.251601
    Unten rechts KachelX + 1 35244 KachelY + 1 21867 0.23738353 0.89450919 13.601074 51.251601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89456920-0.89450919) × R
    6.00099999999992e-05 × 6371000     		dl = 382.323709999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89456920-0.89450919) × R
    6.00099999999992e-05 × 6371000     		dr = 382.323709999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23728765-0.23738353) × cos(0.89456920) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.625854872408275 × 6371000     		do = 382.304375075887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23728765-0.23738353) × cos(0.89450919) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.625901675452845 × 6371000     		du = 382.332964784931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89456920)-sin(0.89450919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625854872408275-0.625901675452845)×R²
    abs(0.23738353-0.23728765)×4.68030445693879e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.68030445693879e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.68030445693879e-05×40589641000000     		ar = 146169.49233388m²