Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35241 / 21867
↖ ↑ ↗
← N 51.251601°
E 13.584595°		 ← 382.29 m → N 51.251601°
E 13.590088°		 →
↑
382.32 m
↓
↑
382.32 m
↓
N 51.248163°
E 13.584595°		 ← 382.32 m →
146 165 m²		 N 51.248163°
E 13.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537742614746094 y=0.333671569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537742614746094 × 216)
    floor (0.537742614746094 × 65536)
    floor (35241.5)     		tx = 35241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333671569824219 × 216)
    floor (0.333671569824219 × 65536)
    floor (21867.5)     		ty = 21867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35241 / 21867 ti = "16/35241/21867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35241/21867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35241 ÷ 216
    35241 ÷ 65536     		x = 0.537734985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21867 ÷ 216
    21867 ÷ 65536     		y = 0.333663940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537734985351562 × 2 - 1) × π
    0.075469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23709591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333663940429688 × 2 - 1) × π
    0.332672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04512028551646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23709591} λ = 0.23709591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04512028551646))-π/2
    2×atan(2.84374056388253)-π/2
    2×1.23265275965792-π/2
    2.46530551931584-1.57079632675     		φ = 0.89450919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23709591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.584595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89450919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.251601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35241 KachelY 21867 0.23709591 0.89450919 13.584595 51.251601
    Oben rechts KachelX + 1 35242 KachelY 21867 0.23719178 0.89450919 13.590088 51.251601
    Unten links KachelX 35241 KachelY + 1 21868 0.23709591 0.89444918 13.584595 51.248163
    Unten rechts KachelX + 1 35242 KachelY + 1 21868 0.23719178 0.89444918 13.590088 51.248163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89450919-0.89444918) × R
    6.00099999999992e-05 × 6371000     		dl = 382.323709999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89450919-0.89444918) × R
    6.00099999999992e-05 × 6371000     		dr = 382.323709999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23709591-0.23719178) × cos(0.89450919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625901675452845 × 6371000     		do = 382.293088589098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23709591-0.23719178) × cos(0.89444918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.625948476243417 × 6371000     		du = 382.321673939606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89450919)-sin(0.89444918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625901675452845-0.625948476243417)×R²
    abs(0.23719178-0.23709591)×4.68007905721768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68007905721768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68007905721768e-05×40589641000000     		ar = 146165.176409029m²