Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35238 / 21862
↖ ↑ ↗
← N 51.268789°
E 13.568115°		 ← 382.19 m → N 51.268789°
E 13.573609°		 →
↑
382.13 m
↓
↑
382.13 m
↓
N 51.265352°
E 13.568115°		 ← 382.22 m →
146 053 m²		 N 51.265352°
E 13.573609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537696838378906 y=0.333595275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537696838378906 × 216)
    floor (0.537696838378906 × 65536)
    floor (35238.5)     		tx = 35238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333595275878906 × 216)
    floor (0.333595275878906 × 65536)
    floor (21862.5)     		ty = 21862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35238 / 21862 ti = "16/35238/21862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35238/21862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35238 ÷ 216
    35238 ÷ 65536     		x = 0.537689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21862 ÷ 216
    21862 ÷ 65536     		y = 0.333587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537689208984375 × 2 - 1) × π
    0.07537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23680828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333587646484375 × 2 - 1) × π
    0.33282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04559965451266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23680828} λ = 0.23680828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04559965451266))-π/2
    2×atan(2.84510409173247)-π/2
    2×1.23280275054453-π/2
    2.46560550108907-1.57079632675     		φ = 0.89480917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23680828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89480917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.268789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35238 KachelY 21862 0.23680828 0.89480917 13.568115 51.268789
    Oben rechts KachelX + 1 35239 KachelY 21862 0.23690416 0.89480917 13.573609 51.268789
    Unten links KachelX 35238 KachelY + 1 21863 0.23680828 0.89474919 13.568115 51.265352
    Unten rechts KachelX + 1 35239 KachelY + 1 21863 0.23690416 0.89474919 13.573609 51.265352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89480917-0.89474919) × R
    5.99800000000705e-05 × 6371000     		dl = 382.132580000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89480917-0.89474919) × R
    5.99800000000705e-05 × 6371000     		dr = 382.132580000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23680828-0.23690416) × cos(0.89480917) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625667692299678 × 6371000     		do = 382.190035829413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23680828-0.23690416) × cos(0.89474919) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625714480954357 × 6371000     		du = 382.218616748372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89480917)-sin(0.89474919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625667692299678-0.625714480954357)×R²
    abs(0.23690416-0.23680828)×4.67886546794416e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67886546794416e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67886546794416e-05×40589641000000     		ar = 146052.725335526m²