Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35130 / 21370
↖ ↑ ↗
← N 52.928774°
E 12.974853°		 ← 368.23 m → N 52.928774°
E 12.980347°		 →
↑
368.18 m
↓
↑
368.18 m
↓
N 52.925463°
E 12.974853°		 ← 368.25 m →
135 579 m²		 N 52.925463°
E 12.980347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536048889160156 y=0.326087951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536048889160156 × 216)
    floor (0.536048889160156 × 65536)
    floor (35130.5)     		tx = 35130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326087951660156 × 216)
    floor (0.326087951660156 × 65536)
    floor (21370.5)     		ty = 21370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35130 / 21370 ti = "16/35130/21370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35130/21370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35130 ÷ 216
    35130 ÷ 65536     		x = 0.536041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21370 ÷ 216
    21370 ÷ 65536     		y = 0.326080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536041259765625 × 2 - 1) × π
    0.07208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22645391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326080322265625 × 2 - 1) × π
    0.34783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0927695637388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22645391} λ = 0.22645391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0927695637388))-π/2
    2×atan(2.98252293178165)-π/2
    2×1.2472888556485-π/2
    2.494577711297-1.57079632675     		φ = 0.92378138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22645391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.974853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92378138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.928774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35130 KachelY 21370 0.22645391 0.92378138 12.974853 52.928774
    Oben rechts KachelX + 1 35131 KachelY 21370 0.22654979 0.92378138 12.980347 52.928774
    Unten links KachelX 35130 KachelY + 1 21371 0.22645391 0.92372359 12.974853 52.925463
    Unten rechts KachelX + 1 35131 KachelY + 1 21371 0.22654979 0.92372359 12.980347 52.925463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92378138-0.92372359) × R
    5.77899999999465e-05 × 6371000     		dl = 368.180089999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92378138-0.92372359) × R
    5.77899999999465e-05 × 6371000     		dr = 368.180089999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22645391-0.22654979) × cos(0.92378138) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602807360503113 × 6371000     		do = 368.225768318192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22645391-0.22654979) × cos(0.92372359) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602853469372512 × 6371000     		du = 368.253933989305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92378138)-sin(0.92372359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602807360503113-0.602853469372512)×R²
    abs(0.22654979-0.22645391)×4.61088693988199e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61088693988199e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61088693988199e-05×40589641000000     		ar = 135578.581576971m²