Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35124 / 21412
↖ ↑ ↗
← N 52.789476°
E 12.941894°		 ← 369.37 m → N 52.789476°
E 12.947387°		 →
↑
369.39 m
↓
↑
369.39 m
↓
N 52.786154°
E 12.941894°		 ← 369.40 m →
136 447 m²		 N 52.786154°
E 12.947387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535957336425781 y=0.326728820800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535957336425781 × 216)
    floor (0.535957336425781 × 65536)
    floor (35124.5)     		tx = 35124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326728820800781 × 216)
    floor (0.326728820800781 × 65536)
    floor (21412.5)     		ty = 21412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35124 / 21412 ti = "16/35124/21412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35124/21412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35124 ÷ 216
    35124 ÷ 65536     		x = 0.53594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21412 ÷ 216
    21412 ÷ 65536     		y = 0.32672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53594970703125 × 2 - 1) × π
    0.0718994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22587867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32672119140625 × 2 - 1) × π
    0.3465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08874286417072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22587867} λ = 0.22587867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08874286417072))-π/2
    2×atan(2.97053735533301)-π/2
    2×1.24607324303632-π/2
    2.49214648607264-1.57079632675     		φ = 0.92135016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22587867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92135016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.789476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35124 KachelY 21412 0.22587867 0.92135016 12.941894 52.789476
    Oben rechts KachelX + 1 35125 KachelY 21412 0.22597454 0.92135016 12.947387 52.789476
    Unten links KachelX 35124 KachelY + 1 21413 0.22587867 0.92129218 12.941894 52.786154
    Unten rechts KachelX + 1 35125 KachelY + 1 21413 0.22597454 0.92129218 12.947387 52.786154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92135016-0.92129218) × R
    5.7980000000013e-05 × 6371000     		dl = 369.390580000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92135016-0.92129218) × R
    5.7980000000013e-05 × 6371000     		dr = 369.390580000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22587867-0.22597454) × cos(0.92135016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604745415302118 × 6371000     		do = 369.371103630097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22587867-0.22597454) × cos(0.92129218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604791590650463 × 6371000     		du = 369.399306968141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92135016)-sin(0.92129218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604745415302118-0.604791590650463)×R²
    abs(0.22597454-0.22587867)×4.61753483452787e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61753483452787e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61753483452787e-05×40589641000000     		ar = 136447.415267247m²