Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35111 / 21357
↖ ↑ ↗
← N 52.971801°
E 12.870483°		 ← 367.86 m → N 52.971801°
E 12.875977°		 →
↑
367.86 m
↓
↑
367.86 m
↓
N 52.968492°
E 12.870483°		 ← 367.89 m →
135 327 m²		 N 52.968492°
E 12.875977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535758972167969 y=0.325889587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535758972167969 × 216)
    floor (0.535758972167969 × 65536)
    floor (35111.5)     		tx = 35111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325889587402344 × 216)
    floor (0.325889587402344 × 65536)
    floor (21357.5)     		ty = 21357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35111 / 21357 ti = "16/35111/21357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35111/21357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35111 ÷ 216
    35111 ÷ 65536     		x = 0.535751342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21357 ÷ 216
    21357 ÷ 65536     		y = 0.325881958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535751342773438 × 2 - 1) × π
    0.071502685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22463231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325881958007812 × 2 - 1) × π
    0.348236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09401592312892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22463231} λ = 0.22463231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09401592312892))-π/2
    2×atan(2.9862425447497)-π/2
    2×1.24766432619307-π/2
    2.49532865238615-1.57079632675     		φ = 0.92453233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22463231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.870483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92453233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.971801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35111 KachelY 21357 0.22463231 0.92453233 12.870483 52.971801
    Oben rechts KachelX + 1 35112 KachelY 21357 0.22472819 0.92453233 12.875977 52.971801
    Unten links KachelX 35111 KachelY + 1 21358 0.22463231 0.92447459 12.870483 52.968492
    Unten rechts KachelX + 1 35112 KachelY + 1 21358 0.22472819 0.92447459 12.875977 52.968492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92453233-0.92447459) × R
    5.77400000000283e-05 × 6371000     		dl = 367.86154000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92453233-0.92447459) × R
    5.77400000000283e-05 × 6371000     		dr = 367.86154000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22463231-0.22472819) × cos(0.92453233) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602208017525629 × 6371000     		do = 367.859658773368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22463231-0.22472819) × cos(0.92447459) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602254112628076 × 6371000     		du = 367.887816034919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92453233)-sin(0.92447459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602208017525629-0.602254112628076)×R²
    abs(0.22472819-0.22463231)×4.60951024469081e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.60951024469081e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.60951024469081e-05×40589641000000     		ar = 135326.599604936m²