Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35096 / 21337
↖ ↑ ↗
← N 53.037910°
E 12.788086°		 ← 367.30 m → N 53.037910°
E 12.793579°		 →
↑
367.29 m
↓
↑
367.29 m
↓
N 53.034607°
E 12.788086°		 ← 367.32 m →
134 909 m²		 N 53.034607°
E 12.793579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535530090332031 y=0.325584411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535530090332031 × 216)
    floor (0.535530090332031 × 65536)
    floor (35096.5)     		tx = 35096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325584411621094 × 216)
    floor (0.325584411621094 × 65536)
    floor (21337.5)     		ty = 21337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35096 / 21337 ti = "16/35096/21337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35096/21337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35096 ÷ 216
    35096 ÷ 65536     		x = 0.5355224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21337 ÷ 216
    21337 ÷ 65536     		y = 0.325576782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5355224609375 × 2 - 1) × π
    0.071044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22319420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325576782226562 × 2 - 1) × π
    0.348846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09593339911372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22319420} λ = 0.22319420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09593339911372))-π/2
    2×atan(2.99197408640469)-π/2
    2×1.24824124408948-π/2
    2.49648248817896-1.57079632675     		φ = 0.92568616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22319420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92568616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.037910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35096 KachelY 21337 0.22319420 0.92568616 12.788086 53.037910
    Oben rechts KachelX + 1 35097 KachelY 21337 0.22329008 0.92568616 12.793579 53.037910
    Unten links KachelX 35096 KachelY + 1 21338 0.22319420 0.92562851 12.788086 53.034607
    Unten rechts KachelX + 1 35097 KachelY + 1 21338 0.22329008 0.92562851 12.793579 53.034607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92568616-0.92562851) × R
    5.76500000000202e-05 × 6371000     		dl = 367.288150000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92568616-0.92562851) × R
    5.76500000000202e-05 × 6371000     		dr = 367.288150000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22319420-0.22329008) × cos(0.92568616) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.6012864691257 × 6371000     		do = 367.29672956938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22319420-0.22329008) × cos(0.92562851) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.601332532409484 × 6371000     		du = 367.324867394453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92568616)-sin(0.92562851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6012864691257-0.601332532409484)×R²
    abs(0.22329008-0.22319420)×4.60632837838704e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.60632837838704e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.60632837838704e-05×40589641000000     		ar = 134908.903687004m²