Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35085 / 21453
↖ ↑ ↗
← N 52.653062°
E 12.727661°		 ← 370.57 m → N 52.653062°
E 12.733154°		 →
↑
370.60 m
↓
↑
370.60 m
↓
N 52.649729°
E 12.727661°		 ← 370.60 m →
137 338 m²		 N 52.649729°
E 12.733154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535362243652344 y=0.327354431152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535362243652344 × 216)
    floor (0.535362243652344 × 65536)
    floor (35085.5)     		tx = 35085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327354431152344 × 216)
    floor (0.327354431152344 × 65536)
    floor (21453.5)     		ty = 21453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35085 / 21453 ti = "16/35085/21453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35085/21453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35085 ÷ 216
    35085 ÷ 65536     		x = 0.535354614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21453 ÷ 216
    21453 ÷ 65536     		y = 0.327346801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535354614257812 × 2 - 1) × π
    0.070709228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22213959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327346801757812 × 2 - 1) × π
    0.345306396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08481203840187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22213959} λ = 0.22213959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08481203840187))-π/2
    2×atan(2.95888360997618)-π/2
    2×1.24488280731909-π/2
    2.48976561463819-1.57079632675     		φ = 0.91896929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22213959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.727661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91896929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.653062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35085 KachelY 21453 0.22213959 0.91896929 12.727661 52.653062
    Oben rechts KachelX + 1 35086 KachelY 21453 0.22223547 0.91896929 12.733154 52.653062
    Unten links KachelX 35085 KachelY + 1 21454 0.22213959 0.91891112 12.727661 52.649729
    Unten rechts KachelX + 1 35086 KachelY + 1 21454 0.22223547 0.91891112 12.733154 52.649729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91896929-0.91891112) × R
    5.81700000000795e-05 × 6371000     		dl = 370.601070000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91896929-0.91891112) × R
    5.81700000000795e-05 × 6371000     		dr = 370.601070000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22213959-0.22223547) × cos(0.91896929) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606639869243592 × 6371000     		do = 370.566861954426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22213959-0.22223547) × cos(0.91891112) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606686112016072 × 6371000     		du = 370.595109420435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91896929)-sin(0.91891112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606639869243592-0.606686112016072)×R²
    abs(0.22223547-0.22213959)×4.62427724802206e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.62427724802206e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.62427724802206e-05×40589641000000     		ar = 137337.709856328m²