Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35030 / 21426
↖ ↑ ↗
← N 52.742943°
E 12.425537°		 ← 369.80 m → N 52.742943°
E 12.431030°		 →
↑
369.84 m
↓
↑
369.84 m
↓
N 52.739617°
E 12.425537°		 ← 369.83 m →
136 772 m²		 N 52.739617°
E 12.431030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534523010253906 y=0.326942443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534523010253906 × 216)
    floor (0.534523010253906 × 65536)
    floor (35030.5)     		tx = 35030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326942443847656 × 216)
    floor (0.326942443847656 × 65536)
    floor (21426.5)     		ty = 21426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35030 / 21426 ti = "16/35030/21426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35030/21426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35030 ÷ 216
    35030 ÷ 65536     		x = 0.534515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21426 ÷ 216
    21426 ÷ 65536     		y = 0.326934814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534515380859375 × 2 - 1) × π
    0.06903076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21686653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326934814453125 × 2 - 1) × π
    0.34613037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08740063098135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21686653} λ = 0.21686653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08740063098135))-π/2
    2×atan(2.96655287615275)-π/2
    2×1.24566717139424-π/2
    2.49133434278849-1.57079632675     		φ = 0.92053802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21686653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.425537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92053802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.742943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35030 KachelY 21426 0.21686653 0.92053802 12.425537 52.742943
    Oben rechts KachelX + 1 35031 KachelY 21426 0.21696241 0.92053802 12.431030 52.742943
    Unten links KachelX 35030 KachelY + 1 21427 0.21686653 0.92047997 12.425537 52.739617
    Unten rechts KachelX + 1 35031 KachelY + 1 21427 0.21696241 0.92047997 12.431030 52.739617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92053802-0.92047997) × R
    5.80499999999207e-05 × 6371000     		dl = 369.836549999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92053802-0.92047997) × R
    5.80499999999207e-05 × 6371000     		dr = 369.836549999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21686653-0.21696241) × cos(0.92053802) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.605392019398481 × 6371000     		do = 369.804611029722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21686653-0.21696241) × cos(0.92047997) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.605438221966799 × 6371000     		du = 369.832833936959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92053802)-sin(0.92047997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605392019398481-0.605438221966799)×R²
    abs(0.21696241-0.21686653)×4.6202568317999e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6202568317999e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6202568317999e-05×40589641000000     		ar = 136772.480486736m²