Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35029 / 21440
↖ ↑ ↗
← N 52.696361°
E 12.420044°		 ← 370.16 m → N 52.696361°
E 12.425537°		 →
↑
370.16 m
↓
↑
370.16 m
↓
N 52.693032°
E 12.420044°		 ← 370.19 m →
137 022 m²		 N 52.693032°
E 12.425537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534507751464844 y=0.327156066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534507751464844 × 216)
    floor (0.534507751464844 × 65536)
    floor (35029.5)     		tx = 35029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327156066894531 × 216)
    floor (0.327156066894531 × 65536)
    floor (21440.5)     		ty = 21440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35029 / 21440 ti = "16/35029/21440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35029/21440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35029 ÷ 216
    35029 ÷ 65536     		x = 0.534500122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21440 ÷ 216
    21440 ÷ 65536     		y = 0.3271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534500122070312 × 2 - 1) × π
    0.069000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21677066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3271484375 × 2 - 1) × π
    0.345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08605839779199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21677066} λ = 0.21677066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08605839779199))-π/2
    2×atan(2.96257374148508)-π/2
    2×1.24526066570588-π/2
    2.49052133141176-1.57079632675     		φ = 0.91972500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21677066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.420044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91972500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.696361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35029 KachelY 21440 0.21677066 0.91972500 12.420044 52.696361
    Oben rechts KachelX + 1 35030 KachelY 21440 0.21686653 0.91972500 12.425537 52.696361
    Unten links KachelX 35029 KachelY + 1 21441 0.21677066 0.91966690 12.420044 52.693032
    Unten rechts KachelX + 1 35030 KachelY + 1 21441 0.21686653 0.91966690 12.425537 52.693032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91972500-0.91966690) × R
    5.81000000000609e-05 × 6371000     		dl = 370.155100000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91972500-0.91966690) × R
    5.81000000000609e-05 × 6371000     		dr = 370.155100000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21677066-0.21686653) × cos(0.91972500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606038924178641 × 6371000     		do = 370.161163032263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21677066-0.21686653) × cos(0.91966690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606085137928624 × 6371000     		du = 370.189389825559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91972500)-sin(0.91966690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606038924178641-0.606085137928624)×R²
    abs(0.21686653-0.21677066)×4.62137499833704e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62137499833704e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62137499833704e-05×40589641000000     		ar = 137022.26650271m²