Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3500 / 5660
↖ ↑ ↗
← S 56.462490°
W 26.191406°		 ← 2 699.70 m → S 56.462490°
W 26.147461°		 →
↑
2 698.88 m
↓
↑
2 698.88 m
↓
S 56.486762°
W 26.191406°		 ← 2 697.98 m →
7 283 855 m²		 S 56.486762°
W 26.147461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42730712890625 y=0.69097900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42730712890625 × 213)
    floor (0.42730712890625 × 8192)
    floor (3500.5)     		tx = 3500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69097900390625 × 213)
    floor (0.69097900390625 × 8192)
    floor (5660.5)     		ty = 5660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3500 / 5660 ti = "13/3500/5660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3500/5660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3500 ÷ 213
    3500 ÷ 8192     		x = 0.42724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5660 ÷ 213
    5660 ÷ 8192     		y = 0.69091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69091796875 × 2 - 1) × π
    -0.3818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19957297609229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45712627} λ = -0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19957297609229))-π/2
    2×atan(0.301322856506758)-π/2
    2×0.292669981996998-π/2
    0.585339963993996-1.57079632675     		φ = -0.98545636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98545636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.462490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3500 KachelY 5660 -0.45712627 -0.98545636 -26.191406 -56.462490
    Oben rechts KachelX + 1 3501 KachelY 5660 -0.45635928 -0.98545636 -26.147461 -56.462490
    Unten links KachelX 3500 KachelY + 1 5661 -0.45712627 -0.98587998 -26.191406 -56.486762
    Unten rechts KachelX + 1 3501 KachelY + 1 5661 -0.45635928 -0.98587998 -26.147461 -56.486762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98545636--0.98587998) × R
    0.000423619999999958 × 6371000     		dl = 2698.88301999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98545636--0.98587998) × R
    0.000423619999999958 × 6371000     		dr = 2698.88301999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45712627--0.45635928) × cos(-0.98545636) × R
    0.000766990000000023 × 0.552482784839583 × 6371000     		do = 2699.70342095922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45712627--0.45635928) × cos(-0.98587998) × R
    0.000766990000000023 × 0.552129637710084 × 6371000     		du = 2697.97776988054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98545636)-sin(-0.98587998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552482784839583-0.552129637710084)×R²
    abs(-0.45635928--0.45712627)×0.000353147129498854×R²
    0.000766990000000023×0.000353147129498854×6371000²
    0.000766990000000023×0.000353147129498854×40589641000000     		ar = 7283855.16559002m²