Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34782 / 21430
↖ ↑ ↗
← N 52.729639°
E 11.063232°		 ← 369.92 m → N 52.729639°
E 11.068726°		 →
↑
369.96 m
↓
↑
369.96 m
↓
N 52.726312°
E 11.063232°		 ← 369.95 m →
136 861 m²		 N 52.726312°
E 11.068726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530738830566406 y=0.327003479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530738830566406 × 216)
    floor (0.530738830566406 × 65536)
    floor (34782.5)     		tx = 34782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327003479003906 × 216)
    floor (0.327003479003906 × 65536)
    floor (21430.5)     		ty = 21430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34782 / 21430 ti = "16/34782/21430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34782/21430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34782 ÷ 216
    34782 ÷ 65536     		x = 0.530731201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21430 ÷ 216
    21430 ÷ 65536     		y = 0.326995849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530731201171875 × 2 - 1) × π
    0.06146240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19308983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326995849609375 × 2 - 1) × π
    0.34600830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08701713578439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19308983} λ = 0.19308983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08701713578439))-π/2
    2×atan(2.96541543548867)-π/2
    2×1.24555107121084-π/2
    2.49110214242167-1.57079632675     		φ = 0.92030582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19308983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.063232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92030582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.729639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34782 KachelY 21430 0.19308983 0.92030582 11.063232 52.729639
    Oben rechts KachelX + 1 34783 KachelY 21430 0.19318571 0.92030582 11.068726 52.729639
    Unten links KachelX 34782 KachelY + 1 21431 0.19308983 0.92024775 11.063232 52.726312
    Unten rechts KachelX + 1 34783 KachelY + 1 21431 0.19318571 0.92024775 11.068726 52.726312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92030582-0.92024775) × R
    5.80700000000212e-05 × 6371000     		dl = 369.963970000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92030582-0.92024775) × R
    5.80700000000212e-05 × 6371000     		dr = 369.963970000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19308983-0.19318571) × cos(0.92030582) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.605576817429887 × 6371000     		do = 369.917495180815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19308983-0.19318571) × cos(0.92024775) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.605623027751476 × 6371000     		du = 369.945722824149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92030582)-sin(0.92024775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605576817429887-0.605623027751476)×R²
    abs(0.19318571-0.19308983)×4.62103215890242e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.62103215890242e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.62103215890242e-05×40589641000000     		ar = 136861.366733526m²