Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34736 / 21360
↖ ↑ ↗
← N 52.961875°
E 10.810547°		 ← 367.91 m → N 52.961875°
E 10.816040°		 →
↑
367.93 m
↓
↑
367.93 m
↓
N 52.958566°
E 10.810547°		 ← 367.93 m →
135 367 m²		 N 52.958566°
E 10.816040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530036926269531 y=0.325935363769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530036926269531 × 216)
    floor (0.530036926269531 × 65536)
    floor (34736.5)     		tx = 34736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325935363769531 × 216)
    floor (0.325935363769531 × 65536)
    floor (21360.5)     		ty = 21360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34736 / 21360 ti = "16/34736/21360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34736/21360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34736 ÷ 216
    34736 ÷ 65536     		x = 0.530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21360 ÷ 216
    21360 ÷ 65536     		y = 0.325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530029296875 × 2 - 1) × π
    0.06005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18867964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325927734375 × 2 - 1) × π
    0.34814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0937283017312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18867964} λ = 0.18867964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0937283017312))-π/2
    2×atan(2.98538376100326)-π/2
    2×1.2475777122934-π/2
    2.49515542458681-1.57079632675     		φ = 0.92435910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18867964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92435910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.961875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34736 KachelY 21360 0.18867964 0.92435910 10.810547 52.961875
    Oben rechts KachelX + 1 34737 KachelY 21360 0.18877551 0.92435910 10.816040 52.961875
    Unten links KachelX 34736 KachelY + 1 21361 0.18867964 0.92430135 10.810547 52.958566
    Unten rechts KachelX + 1 34737 KachelY + 1 21361 0.18877551 0.92430135 10.816040 52.958566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92435910-0.92430135) × R
    5.77499999999675e-05 × 6371000     		dl = 367.925249999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92435910-0.92430135) × R
    5.77499999999675e-05 × 6371000     		dr = 367.925249999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18867964-0.18877551) × cos(0.92435910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602346304791586 × 6371000     		do = 367.905756271385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18867964-0.18877551) × cos(0.92430135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602392401851647 × 6371000     		du = 367.933911791903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92435910)-sin(0.92430135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602346304791586-0.602392401851647)×R²
    abs(0.18877551-0.18867964)×4.60970600604238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60970600604238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60970600604238e-05×40589641000000     		ar = 135366.996953714m²