Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34732 / 21364
↖ ↑ ↗
← N 52.948638°
E 10.788574°		 ← 368.06 m → N 52.948638°
E 10.794068°		 →
↑
368.05 m
↓
↑
368.05 m
↓
N 52.945328°
E 10.788574°		 ← 368.08 m →
135 469 m²		 N 52.945328°
E 10.794068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529975891113281 y=0.325996398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529975891113281 × 216)
    floor (0.529975891113281 × 65536)
    floor (34732.5)     		tx = 34732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325996398925781 × 216)
    floor (0.325996398925781 × 65536)
    floor (21364.5)     		ty = 21364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34732 / 21364 ti = "16/34732/21364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34732/21364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34732 ÷ 216
    34732 ÷ 65536     		x = 0.52996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21364 ÷ 216
    21364 ÷ 65536     		y = 0.32598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52996826171875 × 2 - 1) × π
    0.0599365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18829614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32598876953125 × 2 - 1) × π
    0.3480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09334480653424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18829614} λ = 0.18829614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09334480653424))-π/2
    2×atan(2.98423910016982)-π/2
    2×1.24746219615674-π/2
    2.49492439231349-1.57079632675     		φ = 0.92412807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18829614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.788574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92412807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.948638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34732 KachelY 21364 0.18829614 0.92412807 10.788574 52.948638
    Oben rechts KachelX + 1 34733 KachelY 21364 0.18839202 0.92412807 10.794068 52.948638
    Unten links KachelX 34732 KachelY + 1 21365 0.18829614 0.92407030 10.788574 52.945328
    Unten rechts KachelX + 1 34733 KachelY + 1 21365 0.18839202 0.92407030 10.794068 52.945328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92412807-0.92407030) × R
    5.7769999999957e-05 × 6371000     		dl = 368.052669999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92412807-0.92407030) × R
    5.7769999999957e-05 × 6371000     		dr = 368.052669999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18829614-0.18839202) × cos(0.92412807) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602530704919987 × 6371000     		do = 368.056772845789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18829614-0.18839202) × cos(0.92407030) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602576809903233 × 6371000     		du = 368.08493614304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92412807)-sin(0.92407030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602530704919987-0.602576809903233)×R²
    abs(0.18839202-0.18829614)×4.61049832468641e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61049832468641e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61049832468641e-05×40589641000000     		ar = 135469.460783452m²