Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34727 / 21409
↖ ↑ ↗
← N 52.799441°
E 10.761108°		 ← 369.33 m → N 52.799441°
E 10.766602°		 →
↑
369.33 m
↓
↑
369.33 m
↓
N 52.796119°
E 10.761108°		 ← 369.35 m →
136 407 m²		 N 52.796119°
E 10.766602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529899597167969 y=0.326683044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529899597167969 × 216)
    floor (0.529899597167969 × 65536)
    floor (34727.5)     		tx = 34727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326683044433594 × 216)
    floor (0.326683044433594 × 65536)
    floor (21409.5)     		ty = 21409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34727 / 21409 ti = "16/34727/21409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34727/21409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34727 ÷ 216
    34727 ÷ 65536     		x = 0.529891967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21409 ÷ 216
    21409 ÷ 65536     		y = 0.326675415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529891967773438 × 2 - 1) × π
    0.059783935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18781677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326675415039062 × 2 - 1) × π
    0.346649169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08903048556844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18781677} λ = 0.18781677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08903048556844))-π/2
    2×atan(2.97139186832135)-π/2
    2×1.24616020193668-π/2
    2.49232040387336-1.57079632675     		φ = 0.92152408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18781677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.761108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92152408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.799441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34727 KachelY 21409 0.18781677 0.92152408 10.761108 52.799441
    Oben rechts KachelX + 1 34728 KachelY 21409 0.18791265 0.92152408 10.766602 52.799441
    Unten links KachelX 34727 KachelY + 1 21410 0.18781677 0.92146611 10.761108 52.796119
    Unten rechts KachelX + 1 34728 KachelY + 1 21410 0.18791265 0.92146611 10.766602 52.796119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92152408-0.92146611) × R
    5.79699999999628e-05 × 6371000     		dl = 369.326869999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92152408-0.92146611) × R
    5.79699999999628e-05 × 6371000     		dr = 369.326869999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18781677-0.18791265) × cos(0.92152408) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.604606892990419 × 6371000     		do = 369.325015401371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18781677-0.18791265) × cos(0.92146611) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.60465306647159 × 6371000     		du = 369.353220540681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92152408)-sin(0.92146611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604606892990419-0.60465306647159)×R²
    abs(0.18791265-0.18781677)×4.61734811710857e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61734811710857e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61734811710857e-05×40589641000000     		ar = 136406.860446869m²