Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34674 / 21549
↖ ↑ ↗
← N 52.331983°
E 10.469971°		 ← 373.28 m → N 52.331983°
E 10.475464°		 →
↑
373.28 m
↓
↑
373.28 m
↓
N 52.328626°
E 10.469971°		 ← 373.31 m →
139 343 m²		 N 52.328626°
E 10.475464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529090881347656 y=0.328819274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529090881347656 × 216)
    floor (0.529090881347656 × 65536)
    floor (34674.5)     		tx = 34674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328819274902344 × 216)
    floor (0.328819274902344 × 65536)
    floor (21549.5)     		ty = 21549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34674 / 21549 ti = "16/34674/21549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34674/21549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34674 ÷ 216
    34674 ÷ 65536     		x = 0.529083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21549 ÷ 216
    21549 ÷ 65536     		y = 0.328811645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529083251953125 × 2 - 1) × π
    0.05816650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18273546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328811645507812 × 2 - 1) × π
    0.342376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07560815367482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18273546} λ = 0.18273546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07560815367482))-π/2
    2×atan(2.93177532842346)-π/2
    2×1.24208086194166-π/2
    2.48416172388332-1.57079632675     		φ = 0.91336540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18273546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.469971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91336540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.331983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34674 KachelY 21549 0.18273546 0.91336540 10.469971 52.331983
    Oben rechts KachelX + 1 34675 KachelY 21549 0.18283134 0.91336540 10.475464 52.331983
    Unten links KachelX 34674 KachelY + 1 21550 0.18273546 0.91330681 10.469971 52.328626
    Unten rechts KachelX + 1 34675 KachelY + 1 21550 0.18283134 0.91330681 10.475464 52.328626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91336540-0.91330681) × R
    5.85899999999695e-05 × 6371000     		dl = 373.276889999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91336540-0.91330681) × R
    5.85899999999695e-05 × 6371000     		dr = 373.276889999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18273546-0.18283134) × cos(0.91336540) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.611085283005264 × 6371000     		do = 373.282349530064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18273546-0.18283134) × cos(0.91330681) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.611131659735945 × 6371000     		du = 373.310678824638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91336540)-sin(0.91330681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611085283005264-0.611131659735945)×R²
    abs(0.18283134-0.18273546)×4.63767306806417e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.63767306806417e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.63767306806417e-05×40589641000000     		ar = 139342.961899721m²