Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34604 / 21439
↖ ↑ ↗
← N 52.699690°
E 10.085449°		 ← 370.13 m → N 52.699690°
E 10.090942°		 →
↑
370.22 m
↓
↑
370.22 m
↓
N 52.696361°
E 10.085449°		 ← 370.16 m →
137 035 m²		 N 52.696361°
E 10.090942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528022766113281 y=0.327140808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528022766113281 × 216)
    floor (0.528022766113281 × 65536)
    floor (34604.5)     		tx = 34604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327140808105469 × 216)
    floor (0.327140808105469 × 65536)
    floor (21439.5)     		ty = 21439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34604 / 21439 ti = "16/34604/21439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34604/21439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34604 ÷ 216
    34604 ÷ 65536     		x = 0.52801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21439 ÷ 216
    21439 ÷ 65536     		y = 0.327133178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52801513671875 × 2 - 1) × π
    0.0560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17602430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327133178710938 × 2 - 1) × π
    0.345733642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08615427159123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17602430} λ = 0.17602430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08615427159123))-π/2
    2×atan(2.96285778830131)-π/2
    2×1.24528971622503-π/2
    2.49057943245007-1.57079632675     		φ = 0.91978311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17602430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.085449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91978311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.699690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34604 KachelY 21439 0.17602430 0.91978311 10.085449 52.699690
    Oben rechts KachelX + 1 34605 KachelY 21439 0.17612017 0.91978311 10.090942 52.699690
    Unten links KachelX 34604 KachelY + 1 21440 0.17602430 0.91972500 10.085449 52.696361
    Unten rechts KachelX + 1 34605 KachelY + 1 21440 0.17612017 0.91972500 10.090942 52.696361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91978311-0.91972500) × R
    5.81100000000001e-05 × 6371000     		dl = 370.218810000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91978311-0.91972500) × R
    5.81100000000001e-05 × 6371000     		dr = 370.218810000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17602430-0.17612017) × cos(0.91978311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605992700428204 × 6371000     		do = 370.132930130813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17602430-0.17612017) × cos(0.91972500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606038924178641 × 6371000     		du = 370.161163032263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91978311)-sin(0.91972500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605992700428204-0.606038924178641)×R²
    abs(0.17612017-0.17602430)×4.62237504362806e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62237504362806e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62237504362806e-05×40589641000000     		ar = 137035.399149063m²