Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34602 / 21441
↖ ↑ ↗
← N 52.693032°
E 10.074463°		 ← 370.19 m → N 52.693032°
E 10.079956°		 →
↑
370.22 m
↓
↑
370.22 m
↓
N 52.689702°
E 10.074463°		 ← 370.22 m →
137 056 m²		 N 52.689702°
E 10.079956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527992248535156 y=0.327171325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527992248535156 × 216)
    floor (0.527992248535156 × 65536)
    floor (34602.5)     		tx = 34602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327171325683594 × 216)
    floor (0.327171325683594 × 65536)
    floor (21441.5)     		ty = 21441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34602 / 21441 ti = "16/34602/21441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34602/21441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34602 ÷ 216
    34602 ÷ 65536     		x = 0.527984619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21441 ÷ 216
    21441 ÷ 65536     		y = 0.327163696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527984619140625 × 2 - 1) × π
    0.05596923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17583255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327163696289062 × 2 - 1) × π
    0.345672607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08596252399275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17583255} λ = 0.17583255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08596252399275))-π/2
    2×atan(2.96228972190019)-π/2
    2×1.24523161297121-π/2
    2.49046322594243-1.57079632675     		φ = 0.91966690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17583255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.074463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91966690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.693032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34602 KachelY 21441 0.17583255 0.91966690 10.074463 52.693032
    Oben rechts KachelX + 1 34603 KachelY 21441 0.17592842 0.91966690 10.079956 52.693032
    Unten links KachelX 34602 KachelY + 1 21442 0.17583255 0.91960879 10.074463 52.689702
    Unten rechts KachelX + 1 34603 KachelY + 1 21442 0.17592842 0.91960879 10.079956 52.689702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91966690-0.91960879) × R
    5.81100000000001e-05 × 6371000     		dl = 370.218810000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91966690-0.91960879) × R
    5.81100000000001e-05 × 6371000     		dr = 370.218810000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17583255-0.17592842) × cos(0.91966690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606085137928624 × 6371000     		do = 370.189389825559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17583255-0.17592842) × cos(0.91960879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606131357586346 × 6371000     		du = 370.217620227229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91966690)-sin(0.91960879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606085137928624-0.606131357586346)×R²
    abs(0.17592842-0.17583255)×4.6219657721891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6219657721891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6219657721891e-05×40589641000000     		ar = 137056.301127171m²