Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34593 / 21320
↖ ↑ ↗
← N 53.094024°
E 10.025024°		 ← 366.82 m → N 53.094024°
E 10.030518°		 →
↑
366.78 m
↓
↑
366.78 m
↓
N 53.090725°
E 10.025024°		 ← 366.85 m →
134 546 m²		 N 53.090725°
E 10.030518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527854919433594 y=0.325325012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527854919433594 × 216)
    floor (0.527854919433594 × 65536)
    floor (34593.5)     		tx = 34593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325325012207031 × 216)
    floor (0.325325012207031 × 65536)
    floor (21320.5)     		ty = 21320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34593 / 21320 ti = "16/34593/21320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34593/21320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34593 ÷ 216
    34593 ÷ 65536     		x = 0.527847290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21320 ÷ 216
    21320 ÷ 65536     		y = 0.3253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527847290039062 × 2 - 1) × π
    0.055694580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17496968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3253173828125 × 2 - 1) × π
    0.349365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09756325370081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17496968} λ = 0.17496968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09756325370081))-π/2
    2×atan(2.99685454523257)-π/2
    2×1.24873092983499-π/2
    2.49746185966998-1.57079632675     		φ = 0.92666553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17496968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.025024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92666553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.094024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34593 KachelY 21320 0.17496968 0.92666553 10.025024 53.094024
    Oben rechts KachelX + 1 34594 KachelY 21320 0.17506556 0.92666553 10.030518 53.094024
    Unten links KachelX 34593 KachelY + 1 21321 0.17496968 0.92660796 10.025024 53.090725
    Unten rechts KachelX + 1 34594 KachelY + 1 21321 0.17506556 0.92660796 10.030518 53.090725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92666553-0.92660796) × R
    5.75699999999513e-05 × 6371000     		dl = 366.77846999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92666553-0.92660796) × R
    5.75699999999513e-05 × 6371000     		dr = 366.77846999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17496968-0.17506556) × cos(0.92666553) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.60050363141591 × 6371000     		do = 366.818531995861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17496968-0.17506556) × cos(0.92660796) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.600549664660946 × 6371000     		du = 366.846651471721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92666553)-sin(0.92660796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60050363141591-0.600549664660946)×R²
    abs(0.17506556-0.17496968)×4.60332450361589e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.60332450361589e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.60332450361589e-05×40589641000000     		ar = 134546.29677918m²