Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34586 / 21294
↖ ↑ ↗
← N 53.179704°
E  9.986572°		 ← 366.05 m → N 53.179704°
E  9.992065°		 →
↑
366.08 m
↓
↑
366.08 m
↓
N 53.176412°
E  9.986572°		 ← 366.08 m →
134 008 m²		 N 53.176412°
E  9.992065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527748107910156 y=0.324928283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527748107910156 × 216)
    floor (0.527748107910156 × 65536)
    floor (34586.5)     		tx = 34586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324928283691406 × 216)
    floor (0.324928283691406 × 65536)
    floor (21294.5)     		ty = 21294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34586 / 21294 ti = "16/34586/21294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34586/21294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34586 ÷ 216
    34586 ÷ 65536     		x = 0.527740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21294 ÷ 216
    21294 ÷ 65536     		y = 0.324920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527740478515625 × 2 - 1) × π
    0.05548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17429857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324920654296875 × 2 - 1) × π
    0.35015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10005597248105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17429857} λ = 0.17429857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10005597248105))-π/2
    2×atan(3.00433417927827)-π/2
    2×1.24947862747756-π/2
    2.49895725495512-1.57079632675     		φ = 0.92816093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17429857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.986572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92816093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.179704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34586 KachelY 21294 0.17429857 0.92816093 9.986572 53.179704
    Oben rechts KachelX + 1 34587 KachelY 21294 0.17439444 0.92816093 9.992065 53.179704
    Unten links KachelX 34586 KachelY + 1 21295 0.17429857 0.92810347 9.986572 53.176412
    Unten rechts KachelX + 1 34587 KachelY + 1 21295 0.17439444 0.92810347 9.992065 53.176412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92816093-0.92810347) × R
    5.74599999999537e-05 × 6371000     		dl = 366.077659999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92816093-0.92810347) × R
    5.74599999999537e-05 × 6371000     		dr = 366.077659999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17429857-0.17439444) × cos(0.92816093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599307205650633 × 6371000     		do = 366.049511684274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17429857-0.17439444) × cos(0.92810347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599353202490314 × 6371000     		du = 366.077605991409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92816093)-sin(0.92810347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599307205650633-0.599353202490314)×R²
    abs(0.17439444-0.17429857)×4.59968396804289e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59968396804289e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59968396804289e-05×40589641000000     		ar = 134007.691067125m²