Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34583 / 21314
↖ ↑ ↗
← N 53.113812°
E  9.970093°		 ← 366.61 m → N 53.113812°
E  9.975586°		 →
↑
366.65 m
↓
↑
366.65 m
↓
N 53.110514°
E  9.970093°		 ← 366.64 m →
134 424 m²		 N 53.110514°
E  9.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527702331542969 y=0.325233459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527702331542969 × 216)
    floor (0.527702331542969 × 65536)
    floor (34583.5)     		tx = 34583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325233459472656 × 216)
    floor (0.325233459472656 × 65536)
    floor (21314.5)     		ty = 21314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34583 / 21314 ti = "16/34583/21314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34583/21314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34583 ÷ 216
    34583 ÷ 65536     		x = 0.527694702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21314 ÷ 216
    21314 ÷ 65536     		y = 0.325225830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527694702148438 × 2 - 1) × π
    0.055389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17401095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325225830078125 × 2 - 1) × π
    0.34954833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09813849649625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17401095} λ = 0.17401095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09813849649625))-π/2
    2×atan(2.99857896014977)-π/2
    2×1.24890360780772-π/2
    2.49780721561545-1.57079632675     		φ = 0.92701089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17401095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.970093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92701089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.113812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34583 KachelY 21314 0.17401095 0.92701089 9.970093 53.113812
    Oben rechts KachelX + 1 34584 KachelY 21314 0.17410682 0.92701089 9.975586 53.113812
    Unten links KachelX 34583 KachelY + 1 21315 0.17401095 0.92695334 9.970093 53.110514
    Unten rechts KachelX + 1 34584 KachelY + 1 21315 0.17410682 0.92695334 9.975586 53.110514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92701089-0.92695334) × R
    5.75500000000728e-05 × 6371000     		dl = 366.651050000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92701089-0.92695334) × R
    5.75500000000728e-05 × 6371000     		dr = 366.651050000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17401095-0.17410682) × cos(0.92701089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600227438145501 × 6371000     		do = 366.611578437696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17401095-0.17410682) × cos(0.92695334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600273467331792 × 6371000     		du = 366.639692501745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92701089)-sin(0.92695334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600227438145501-0.600273467331792)×R²
    abs(0.17410682-0.17401095)×4.6029186290486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6029186290486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6029186290486e-05×40589641000000     		ar = 134423.674239026m²