Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34575 / 22286
↖ ↑ ↗
← N 49.788358°
E  9.926148°		 ← 394.33 m → N 49.788358°
E  9.931641°		 →
↑
394.36 m
↓
↑
394.36 m
↓
N 49.784811°
E  9.926148°		 ← 394.36 m →
155 517 m²		 N 49.784811°
E  9.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527580261230469 y=0.340065002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527580261230469 × 216)
    floor (0.527580261230469 × 65536)
    floor (34575.5)     		tx = 34575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340065002441406 × 216)
    floor (0.340065002441406 × 65536)
    floor (22286.5)     		ty = 22286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34575 / 22286 ti = "16/34575/22286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34575/22286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34575 ÷ 216
    34575 ÷ 65536     		x = 0.527572631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22286 ÷ 216
    22286 ÷ 65536     		y = 0.340057373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527572631835938 × 2 - 1) × π
    0.055145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17324396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340057373046875 × 2 - 1) × π
    0.31988525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00494916363486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17324396} λ = 0.17324396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00494916363486))-π/2
    2×atan(2.73176839612029)-π/2
    2×1.21988354708948-π/2
    2.43976709417896-1.57079632675     		φ = 0.86897077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17324396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.926148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86897077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.788358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34575 KachelY 22286 0.17324396 0.86897077 9.926148 49.788358
    Oben rechts KachelX + 1 34576 KachelY 22286 0.17333983 0.86897077 9.931641 49.788358
    Unten links KachelX 34575 KachelY + 1 22287 0.17324396 0.86890887 9.926148 49.784811
    Unten rechts KachelX + 1 34576 KachelY + 1 22287 0.17333983 0.86890887 9.931641 49.784811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86897077-0.86890887) × R
    6.18999999999481e-05 × 6371000     		dl = 394.364899999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86897077-0.86890887) × R
    6.18999999999481e-05 × 6371000     		dr = 394.364899999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17324396-0.17333983) × cos(0.86897077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645612875835976 × 6371000     		do = 394.332448715134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17324396-0.17333983) × cos(0.86890887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645660145453756 × 6371000     		du = 394.361320419567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86897077)-sin(0.86890887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645612875835976-0.645660145453756)×R²
    abs(0.17333983-0.17324396)×4.72696177795662e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72696177795662e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72696177795662e-05×40589641000000     		ar = 155516.569746915m²