Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34563 / 32721
↖ ↑ ↗
← N  0.258178°
E  9.860230°		 ← 610.78 m → N  0.258178°
E  9.865722°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.252685°
E  9.860230°		 ← 610.78 m →
373 058 m²		 N  0.252685°
E  9.865722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527397155761719 y=0.499290466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527397155761719 × 216)
    floor (0.527397155761719 × 65536)
    floor (34563.5)     		tx = 34563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499290466308594 × 216)
    floor (0.499290466308594 × 65536)
    floor (32721.5)     		ty = 32721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34563 / 32721 ti = "16/34563/32721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34563/32721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34563 ÷ 216
    34563 ÷ 65536     		x = 0.527389526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32721 ÷ 216
    32721 ÷ 65536     		y = 0.499282836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527389526367188 × 2 - 1) × π
    0.054779052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17209347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499282836914062 × 2 - 1) × π
    0.001434326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00450606856428528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17209347} λ = 0.17209347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00450606856428528))-π/2
    2×atan(1.00451623615746)-π/2
    2×0.787651190055116-π/2
    1.57530238011023-1.57079632675     		φ = 0.00450605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17209347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.860230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00450605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.258178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34563 KachelY 32721 0.17209347 0.00450605 9.860230 0.258178
    Oben rechts KachelX + 1 34564 KachelY 32721 0.17218934 0.00450605 9.865722 0.258178
    Unten links KachelX 34563 KachelY + 1 32722 0.17209347 0.00441018 9.860230 0.252685
    Unten rechts KachelX + 1 34564 KachelY + 1 32722 0.17218934 0.00441018 9.865722 0.252685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00450605-0.00441018) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00450605-0.00441018) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17209347-0.17218934) × cos(0.00450605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999989847773877 × 6371000     		do = 610.781569144432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17209347-0.17218934) × cos(0.00441018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999990275171946 × 6371000     		du = 610.781830193946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00450605)-sin(0.00441018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989847773877-0.999990275171946)×R²
    abs(0.17218934-0.17209347)×4.27398069158258e-07×R²
    9.58699999999979e-05×4.27398069158258e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27398069158258e-07×40589641000000     		ar = 373057.992583488m²