Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34555 / 32868
↖ ↑ ↗
← S  0.549308°
E  9.816284°		 ← 610.76 m → S  0.549308°
E  9.821777°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.554801°
E  9.816284°		 ← 610.76 m →
373 044 m²		 S  0.554801°
E  9.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527275085449219 y=0.501533508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527275085449219 × 216)
    floor (0.527275085449219 × 65536)
    floor (34555.5)     		tx = 34555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501533508300781 × 216)
    floor (0.501533508300781 × 65536)
    floor (32868.5)     		ty = 32868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34555 / 32868 ti = "16/34555/32868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34555/32868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34555 ÷ 216
    34555 ÷ 65536     		x = 0.527267456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32868 ÷ 216
    32868 ÷ 65536     		y = 0.50152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527267456054688 × 2 - 1) × π
    0.054534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17132648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.0030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17132648} λ = 0.17132648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00958737992401123))-π/2
    2×atan(0.990458432479025)-π/2
    2×0.780604546871371-π/2
    1.56120909374274-1.57079632675     		φ = -0.00958723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17132648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.816284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00958723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.549308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34555 KachelY 32868 0.17132648 -0.00958723 9.816284 -0.549308
    Oben rechts KachelX + 1 34556 KachelY 32868 0.17142235 -0.00958723 9.821777 -0.549308
    Unten links KachelX 34555 KachelY + 1 32869 0.17132648 -0.00968310 9.816284 -0.554801
    Unten rechts KachelX + 1 34556 KachelY + 1 32869 0.17142235 -0.00968310 9.821777 -0.554801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00958723--0.00968310) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00958723--0.00968310) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17132648-0.17142235) × cos(-0.00958723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999954042862478 × 6371000     		do = 610.759699942444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17132648-0.17142235) × cos(-0.00968310) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999953119153502 × 6371000     		du = 610.759135752298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00958723)-sin(-0.00968310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999954042862478-0.999953119153502)×R²
    abs(0.17142235-0.17132648)×9.23708975753001e-07×R²
    9.58699999999979e-05×9.23708975753001e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.23708975753001e-07×40589641000000     		ar = 373044.383119215m²