Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34553 / 32710
↖ ↑ ↗
← N  0.318602°
E  9.805298°		 ← 610.84 m → N  0.318602°
E  9.810791°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.313109°
E  9.805298°		 ← 610.84 m →
373 095 m²		 N  0.313109°
E  9.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527244567871094 y=0.499122619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527244567871094 × 216)
    floor (0.527244567871094 × 65536)
    floor (34553.5)     		tx = 34553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499122619628906 × 216)
    floor (0.499122619628906 × 65536)
    floor (32710.5)     		ty = 32710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34553 / 32710 ti = "16/34553/32710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34553/32710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34553 ÷ 216
    34553 ÷ 65536     		x = 0.527236938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32710 ÷ 216
    32710 ÷ 65536     		y = 0.499114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527236938476562 × 2 - 1) × π
    0.054473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17113473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499114990234375 × 2 - 1) × π
    0.00177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00556068035592651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17113473} λ = 0.17113473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00556068035592651))-π/2
    2×atan(1.00557616963594)-π/2
    2×0.788178489246962-π/2
    1.57635697849392-1.57079632675     		φ = 0.00556065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17113473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.805298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00556065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.318602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34553 KachelY 32710 0.17113473 0.00556065 9.805298 0.318602
    Oben rechts KachelX + 1 34554 KachelY 32710 0.17123061 0.00556065 9.810791 0.318602
    Unten links KachelX 34553 KachelY + 1 32711 0.17113473 0.00546478 9.805298 0.313109
    Unten rechts KachelX + 1 34554 KachelY + 1 32711 0.17123061 0.00546478 9.810791 0.313109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00556065-0.00546478) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00556065-0.00546478) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17113473-0.17123061) × cos(0.00556065) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999984539625626 × 6371000     		do = 610.842036007385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17113473-0.17123061) × cos(0.00546478) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999985068126936 × 6371000     		du = 610.842358843193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00556065)-sin(0.00546478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999984539625626-0.999985068126936)×R²
    abs(0.17123061-0.17113473)×5.28501310048668e-07×R²
    9.58799999999926e-05×5.28501310048668e-07×6371000²
    9.58799999999926e-05×5.28501310048668e-07×40589641000000     		ar = 373094.943873057m²