Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34551 / 32694
↖ ↑ ↗
← N  0.406491°
E  9.794311°		 ← 610.84 m → N  0.406491°
E  9.799805°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.400998°
E  9.794311°		 ← 610.84 m →
373 091 m²		 N  0.400998°
E  9.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527214050292969 y=0.498878479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527214050292969 × 216)
    floor (0.527214050292969 × 65536)
    floor (34551.5)     		tx = 34551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498878479003906 × 216)
    floor (0.498878479003906 × 65536)
    floor (32694.5)     		ty = 32694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34551 / 32694 ti = "16/34551/32694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34551/32694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34551 ÷ 216
    34551 ÷ 65536     		x = 0.527206420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32694 ÷ 216
    32694 ÷ 65536     		y = 0.498870849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527206420898438 × 2 - 1) × π
    0.054412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17094298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498870849609375 × 2 - 1) × π
    0.00225830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00709466114376831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17094298} λ = 0.17094298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00709466114376831))-π/2
    2×atan(1.00711988787522)-π/2
    2×0.788945464211023-π/2
    1.57789092842205-1.57079632675     		φ = 0.00709460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17094298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.794311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00709460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.406491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34551 KachelY 32694 0.17094298 0.00709460 9.794311 0.406491
    Oben rechts KachelX + 1 34552 KachelY 32694 0.17103886 0.00709460 9.799805 0.406491
    Unten links KachelX 34551 KachelY + 1 32695 0.17094298 0.00699873 9.794311 0.400998
    Unten rechts KachelX + 1 34552 KachelY + 1 32695 0.17103886 0.00699873 9.799805 0.400998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00709460-0.00699873) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00709460-0.00699873) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17094298-0.17103886) × cos(0.00709460) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99997483343098 × 6371000     		do = 610.836106964021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17094298-0.17103886) × cos(0.00699873) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999975508989162 × 6371000     		du = 610.836519629736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00709460)-sin(0.00699873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99997483343098-0.999975508989162)×R²
    abs(0.17103886-0.17094298)×6.75558182394731e-07×R²
    9.58799999999926e-05×6.75558182394731e-07×6371000²
    9.58799999999926e-05×6.75558182394731e-07×40589641000000     		ar = 373091.34991938m²