Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34546 / 32716
↖ ↑ ↗
← N  0.285644°
E  9.766846°		 ← 610.78 m → N  0.285644°
E  9.772339°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
N  0.280150°
E  9.766846°		 ← 610.78 m →
373 096 m²		 N  0.280150°
E  9.772339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527137756347656 y=0.499214172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527137756347656 × 216)
    floor (0.527137756347656 × 65536)
    floor (34546.5)     		tx = 34546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499214172363281 × 216)
    floor (0.499214172363281 × 65536)
    floor (32716.5)     		ty = 32716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34546 / 32716 ti = "16/34546/32716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34546/32716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34546 ÷ 216
    34546 ÷ 65536     		x = 0.527130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32716 ÷ 216
    32716 ÷ 65536     		y = 0.49920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527130126953125 × 2 - 1) × π
    0.05426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17046362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49920654296875 × 2 - 1) × π
    0.0015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00498543756048584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17046362} λ = 0.17046362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00498543756048584))-π/2
    2×atan(1.00499788553192)-π/2
    2×0.787890871851839-π/2
    1.57578174370368-1.57079632675     		φ = 0.00498542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17046362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.766846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00498542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.285644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34546 KachelY 32716 0.17046362 0.00498542 9.766846 0.285644
    Oben rechts KachelX + 1 34547 KachelY 32716 0.17055949 0.00498542 9.772339 0.285644
    Unten links KachelX 34546 KachelY + 1 32717 0.17046362 0.00488954 9.766846 0.280150
    Unten rechts KachelX + 1 34547 KachelY + 1 32717 0.17055949 0.00488954 9.772339 0.280150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00498542-0.00488954) × R
    9.58799999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.851479999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00498542-0.00488954) × R
    9.58799999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.851479999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17046362-0.17055949) × cos(0.00498542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999987572819451 × 6371000     		do = 610.780179630092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17046362-0.17055949) × cos(0.00488954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99998804622311 × 6371000     		du = 610.780468779257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00498542)-sin(0.00488954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999987572819451-0.99998804622311)×R²
    abs(0.17055949-0.17046362)×4.73403658718397e-07×R²
    9.58699999999979e-05×4.73403658718397e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73403658718397e-07×40589641000000     		ar = 373096.065281123m²