Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34545 / 32713
↖ ↑ ↗
← N  0.302122°
E  9.761352°		 ← 610.84 m → N  0.302122°
E  9.766846°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.296629°
E  9.761352°		 ← 610.84 m →
373 096 m²		 N  0.296629°
E  9.766846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527122497558594 y=0.499168395996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527122497558594 × 216)
    floor (0.527122497558594 × 65536)
    floor (34545.5)     		tx = 34545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499168395996094 × 216)
    floor (0.499168395996094 × 65536)
    floor (32713.5)     		ty = 32713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34545 / 32713 ti = "16/34545/32713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34545/32713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34545 ÷ 216
    34545 ÷ 65536     		x = 0.527114868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32713 ÷ 216
    32713 ÷ 65536     		y = 0.499160766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527114868164062 × 2 - 1) × π
    0.054229736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17036774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499160766601562 × 2 - 1) × π
    0.001678466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00527305895820618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17036774} λ = 0.17036774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00527305895820618))-π/2
    2×atan(1.00528698600221)-π/2
    2×0.788034680658453-π/2
    1.57606936131691-1.57079632675     		φ = 0.00527303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17036774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.761352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00527303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.302122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34545 KachelY 32713 0.17036774 0.00527303 9.761352 0.302122
    Oben rechts KachelX + 1 34546 KachelY 32713 0.17046362 0.00527303 9.766846 0.302122
    Unten links KachelX 34545 KachelY + 1 32714 0.17036774 0.00517716 9.761352 0.296629
    Unten rechts KachelX + 1 34546 KachelY + 1 32714 0.17046362 0.00517716 9.766846 0.296629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00527303-0.00517716) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00527303-0.00517716) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17036774-0.17046362) × cos(0.00527303) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999986097609522 × 6371000     		do = 610.842987704331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17036774-0.17046362) × cos(0.00517716) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.9999865985371 × 6371000     		du = 610.843293696684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00527303)-sin(0.00517716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999986097609522-0.9999865985371)×R²
    abs(0.17046362-0.17036774)×5.00927578084287e-07×R²
    9.58800000000204e-05×5.00927578084287e-07×6371000²
    9.58800000000204e-05×5.00927578084287e-07×40589641000000     		ar = 373095.520014019m²