Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34530 / 21318
↖ ↑ ↗
← N 53.100621°
E  9.678955°		 ← 366.76 m → N 53.100621°
E  9.684448°		 →
↑
366.78 m
↓
↑
366.78 m
↓
N 53.097322°
E  9.678955°		 ← 366.79 m →
134 526 m²		 N 53.097322°
E  9.684448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526893615722656 y=0.325294494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526893615722656 × 216)
    floor (0.526893615722656 × 65536)
    floor (34530.5)     		tx = 34530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325294494628906 × 216)
    floor (0.325294494628906 × 65536)
    floor (21318.5)     		ty = 21318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34530 / 21318 ti = "16/34530/21318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34530/21318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34530 ÷ 216
    34530 ÷ 65536     		x = 0.526885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21318 ÷ 216
    21318 ÷ 65536     		y = 0.325286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526885986328125 × 2 - 1) × π
    0.05377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16892963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325286865234375 × 2 - 1) × π
    0.34942626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09775500129929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16892963} λ = 0.16892963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09775500129929))-π/2
    2×atan(2.99742923999102)-π/2
    2×1.2487884979858-π/2
    2.49757699597159-1.57079632675     		φ = 0.92678067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16892963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.678955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92678067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.100621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34530 KachelY 21318 0.16892963 0.92678067 9.678955 53.100621
    Oben rechts KachelX + 1 34531 KachelY 21318 0.16902551 0.92678067 9.684448 53.100621
    Unten links KachelX 34530 KachelY + 1 21319 0.16892963 0.92672310 9.678955 53.097322
    Unten rechts KachelX + 1 34531 KachelY + 1 21319 0.16902551 0.92672310 9.684448 53.097322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92678067-0.92672310) × R
    5.75699999999513e-05 × 6371000     		dl = 366.77846999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92678067-0.92672310) × R
    5.75699999999513e-05 × 6371000     		dr = 366.77846999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16892963-0.16902551) × cos(0.92678067) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.600411558955234 × 6371000     		do = 366.762289396883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16892963-0.16902551) × cos(0.92672310) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.600457596180621 × 6371000     		du = 366.790411304147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92678067)-sin(0.92672310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600411558955234-0.600457596180621)×R²
    abs(0.16902551-0.16892963)×4.60372253878738e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.60372253878738e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.60372253878738e-05×40589641000000     		ar = 134525.668650892m²