Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34525 / 32755
↖ ↑ ↗
← N  0.071411°
E  9.651490°		 ← 610.79 m → N  0.071411°
E  9.656982°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.065918°
E  9.651490°		 ← 610.79 m →
373 061 m²		 N  0.065918°
E  9.656982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526817321777344 y=0.499809265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526817321777344 × 216)
    floor (0.526817321777344 × 65536)
    floor (34525.5)     		tx = 34525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499809265136719 × 216)
    floor (0.499809265136719 × 65536)
    floor (32755.5)     		ty = 32755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34525 / 32755 ti = "16/34525/32755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34525/32755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34525 ÷ 216
    34525 ÷ 65536     		x = 0.526809692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32755 ÷ 216
    32755 ÷ 65536     		y = 0.499801635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526809692382812 × 2 - 1) × π
    0.053619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16845027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499801635742188 × 2 - 1) × π
    0.000396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00124635939012146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16845027} λ = 0.16845027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00124635939012146))-π/2
    2×atan(1.00124713641877)-π/2
    2×0.786021342931167-π/2
    1.57204268586233-1.57079632675     		φ = 0.00124636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16845027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.651490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00124636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.071411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34525 KachelY 32755 0.16845027 0.00124636 9.651490 0.071411
    Oben rechts KachelX + 1 34526 KachelY 32755 0.16854614 0.00124636 9.656982 0.071411
    Unten links KachelX 34525 KachelY + 1 32756 0.16845027 0.00115049 9.651490 0.065918
    Unten rechts KachelX + 1 34526 KachelY + 1 32756 0.16854614 0.00115049 9.656982 0.065918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00124636-0.00115049) × R
    9.58699999999999e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00124636-0.00115049) × R
    9.58699999999999e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16845027-0.16854614) × cos(0.00124636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999999223293476 × 6371000     		do = 610.787295597141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16845027-0.16854614) × cos(0.00115049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999999338186453 × 6371000     		du = 610.787365772366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00124636)-sin(0.00115049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999223293476-0.999999338186453)×R²
    abs(0.16854614-0.16845027)×1.14892977132186e-07×R²
    9.58699999999979e-05×1.14892977132186e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.14892977132186e-07×40589641000000     		ar = 373061.431938928m²