Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34511 / 32821
↖ ↑ ↗
← S  0.291136°
E  9.574585°		 ← 610.84 m → S  0.291136°
E  9.580078°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.296629°
E  9.574585°		 ← 610.84 m →
373 096 m²		 S  0.296629°
E  9.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526603698730469 y=0.500816345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526603698730469 × 216)
    floor (0.526603698730469 × 65536)
    floor (34511.5)     		tx = 34511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500816345214844 × 216)
    floor (0.500816345214844 × 65536)
    floor (32821.5)     		ty = 32821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34511 / 32821 ti = "16/34511/32821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34511/32821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34511 ÷ 216
    34511 ÷ 65536     		x = 0.526596069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32821 ÷ 216
    32821 ÷ 65536     		y = 0.500808715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526596069335938 × 2 - 1) × π
    0.053192138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16710803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500808715820312 × 2 - 1) × π
    -0.001617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00508131135972595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16710803} λ = 0.16710803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00508131135972595))-π/2
    2×atan(0.994931576664247)-π/2
    2×0.782857518650687-π/2
    1.56571503730137-1.57079632675     		φ = -0.00508129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16710803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.574585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00508129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.291136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34511 KachelY 32821 0.16710803 -0.00508129 9.574585 -0.291136
    Oben rechts KachelX + 1 34512 KachelY 32821 0.16720391 -0.00508129 9.580078 -0.291136
    Unten links KachelX 34511 KachelY + 1 32822 0.16710803 -0.00517716 9.574585 -0.296629
    Unten rechts KachelX + 1 34512 KachelY + 1 32822 0.16720391 -0.00517716 9.580078 -0.296629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00508129--0.00517716) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00508129--0.00517716) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16710803-0.16720391) × cos(-0.00508129) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.999987090273745 × 6371000     		do = 610.843594074741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16710803-0.16720391) × cos(-0.00517716) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.9999865985371 × 6371000     		du = 610.843293696684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00508129)-sin(-0.00517716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999987090273745-0.9999865985371)×R²
    abs(0.16720391-0.16710803)×4.91736644403495e-07×R²
    9.58800000000204e-05×4.91736644403495e-07×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.91736644403495e-07×40589641000000     		ar = 373095.705195836m²