Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34330 / 32281
↖ ↑ ↗
← N  2.674200°
E  8.580322°		 ← 610.19 m → N  2.674200°
E  8.585816°		 →
↑
610.15 m
↓
↑
610.15 m
↓
N  2.668713°
E  8.580322°		 ← 610.19 m →
372 306 m²		 N  2.668713°
E  8.585816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523841857910156 y=0.492576599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523841857910156 × 216)
    floor (0.523841857910156 × 65536)
    floor (34330.5)     		tx = 34330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492576599121094 × 216)
    floor (0.492576599121094 × 65536)
    floor (32281.5)     		ty = 32281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34330 / 32281 ti = "16/34330/32281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34330/32281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34330 ÷ 216
    34330 ÷ 65536     		x = 0.523834228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32281 ÷ 216
    32281 ÷ 65536     		y = 0.492568969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523834228515625 × 2 - 1) × π
    0.04766845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14975487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492568969726562 × 2 - 1) × π
    0.014862060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0466905402299347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14975487} λ = 0.14975487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0466905402299347))-π/2
    2×atan(1.04779770766543)-π/2
    2×0.808734955991989-π/2
    1.61746991198398-1.57079632675     		φ = 0.04667359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14975487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04667359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.674200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34330 KachelY 32281 0.14975487 0.04667359 8.580322 2.674200
    Oben rechts KachelX + 1 34331 KachelY 32281 0.14985075 0.04667359 8.585816 2.674200
    Unten links KachelX 34330 KachelY + 1 32282 0.14975487 0.04657782 8.580322 2.668713
    Unten rechts KachelX + 1 34331 KachelY + 1 32282 0.14985075 0.04657782 8.585816 2.668713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04667359-0.04657782) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dl = 610.150670000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04667359-0.04657782) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dr = 610.150670000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14975487-0.14985075) × cos(0.04667359) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998910985714363 × 6371000     		do = 610.18625401183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14975487-0.14985075) × cos(0.04657782) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998915449440394 × 6371000     		du = 610.188980685483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04667359)-sin(0.04657782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998910985714363-0.998915449440394)×R²
    abs(0.14985075-0.14975487)×4.4637260315783e-06×R²
    9.58799999999926e-05×4.4637260315783e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4637260315783e-06×40589641000000     		ar = 372306.383835544m²