Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34325 / 32279
↖ ↑ ↗
← N  2.685174°
E  8.552857°		 ← 610.12 m → N  2.685174°
E  8.558350°		 →
↑
610.15 m
↓
↑
610.15 m
↓
N  2.679686°
E  8.552857°		 ← 610.12 m →
372 264 m²		 N  2.679686°
E  8.558350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523765563964844 y=0.492546081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523765563964844 × 216)
    floor (0.523765563964844 × 65536)
    floor (34325.5)     		tx = 34325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492546081542969 × 216)
    floor (0.492546081542969 × 65536)
    floor (32279.5)     		ty = 32279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34325 / 32279 ti = "16/34325/32279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34325/32279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34325 ÷ 216
    34325 ÷ 65536     		x = 0.523757934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32279 ÷ 216
    32279 ÷ 65536     		y = 0.492538452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523757934570312 × 2 - 1) × π
    0.047515869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14927551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492538452148438 × 2 - 1) × π
    0.014923095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0468822878284149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14927551} λ = 0.14927551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0468822878284149))-π/2
    2×atan(1.04799863962307)-π/2
    2×0.808830724954338-π/2
    1.61766144990868-1.57079632675     		φ = 0.04686512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14927551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.552857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04686512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.685174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34325 KachelY 32279 0.14927551 0.04686512 8.552857 2.685174
    Oben rechts KachelX + 1 34326 KachelY 32279 0.14937138 0.04686512 8.558350 2.685174
    Unten links KachelX 34325 KachelY + 1 32280 0.14927551 0.04676935 8.552857 2.679686
    Unten rechts KachelX + 1 34326 KachelY + 1 32280 0.14937138 0.04676935 8.558350 2.679686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04686512-0.04676935) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dl = 610.150670000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04686512-0.04676935) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dr = 610.150670000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14927551-0.14937138) × cos(0.04686512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998902031245106 × 6371000     		do = 610.117144112656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14927551-0.14937138) × cos(0.04676935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99890651329395 × 6371000     		du = 610.119881693273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04686512)-sin(0.04676935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998902031245106-0.99890651329395)×R²
    abs(0.14937138-0.14927551)×4.48204884306858e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.48204884306858e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48204884306858e-06×40589641000000     		ar = 372264.219711671m²