Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34323 / 32269
↖ ↑ ↗
← N  2.740044°
E  8.541870°		 ← 610.09 m → N  2.740044°
E  8.547363°		 →
↑
610.15 m
↓
↑
610.15 m
↓
N  2.734557°
E  8.541870°		 ← 610.09 m →
372 247 m²		 N  2.734557°
E  8.547363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523735046386719 y=0.492393493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523735046386719 × 216)
    floor (0.523735046386719 × 65536)
    floor (34323.5)     		tx = 34323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492393493652344 × 216)
    floor (0.492393493652344 × 65536)
    floor (32269.5)     		ty = 32269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34323 / 32269 ti = "16/34323/32269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34323/32269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34323 ÷ 216
    34323 ÷ 65536     		x = 0.523727416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32269 ÷ 216
    32269 ÷ 65536     		y = 0.492385864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523727416992188 × 2 - 1) × π
    0.047454833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14908376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492385864257812 × 2 - 1) × π
    0.015228271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.047841025820816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14908376} λ = 0.14908376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.047841025820816))-π/2
    2×atan(1.04900387753775)-π/2
    2×0.809309556791666-π/2
    1.61861911358333-1.57079632675     		φ = 0.04782279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14908376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.541870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04782279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.740044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34323 KachelY 32269 0.14908376 0.04782279 8.541870 2.740044
    Oben rechts KachelX + 1 34324 KachelY 32269 0.14917963 0.04782279 8.547363 2.740044
    Unten links KachelX 34323 KachelY + 1 32270 0.14908376 0.04772702 8.541870 2.734557
    Unten rechts KachelX + 1 34324 KachelY + 1 32270 0.14917963 0.04772702 8.547363 2.734557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04782279-0.04772702) × R
    9.5769999999995e-05 × 6371000     		dl = 610.150669999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04782279-0.04772702) × R
    9.5769999999995e-05 × 6371000     		dr = 610.150669999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14908376-0.14917963) × cos(0.04782279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998856708297404 × 6371000     		do = 610.089461410498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14908376-0.14917963) × cos(0.04772702) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998861281959738 × 6371000     		du = 610.092254947516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04782279)-sin(0.04772702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998856708297404-0.998861281959738)×R²
    abs(0.14917963-0.14908376)×4.57366233386214e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.57366233386214e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57366233386214e-06×40589641000000     		ar = 372247.346163273m²