Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34321 / 32267
↖ ↑ ↗
← N  2.751017°
E  8.530884°		 ← 610.08 m → N  2.751017°
E  8.536377°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
N  2.745531°
E  8.530884°		 ← 610.09 m →
372 205 m²		 N  2.745531°
E  8.536377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523704528808594 y=0.492362976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523704528808594 × 216)
    floor (0.523704528808594 × 65536)
    floor (34321.5)     		tx = 34321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492362976074219 × 216)
    floor (0.492362976074219 × 65536)
    floor (32267.5)     		ty = 32267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34321 / 32267 ti = "16/34321/32267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34321/32267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34321 ÷ 216
    34321 ÷ 65536     		x = 0.523696899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32267 ÷ 216
    32267 ÷ 65536     		y = 0.492355346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523696899414062 × 2 - 1) × π
    0.047393798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14889201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492355346679688 × 2 - 1) × π
    0.015289306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0480327734192963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14889201} λ = 0.14889201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0480327734192963))-π/2
    2×atan(1.04920504079773)-π/2
    2×0.809405320539711-π/2
    1.61881064107942-1.57079632675     		φ = 0.04801431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14889201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.530884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04801431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.751017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34321 KachelY 32267 0.14889201 0.04801431 8.530884 2.751017
    Oben rechts KachelX + 1 34322 KachelY 32267 0.14898788 0.04801431 8.536377 2.751017
    Unten links KachelX 34321 KachelY + 1 32268 0.14889201 0.04791855 8.530884 2.745531
    Unten rechts KachelX + 1 34322 KachelY + 1 32268 0.14898788 0.04791855 8.536377 2.745531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04801431-0.04791855) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dl = 610.086960000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04801431-0.04791855) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dr = 610.086960000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14889201-0.14898788) × cos(0.04801431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998847534448475 × 6371000     		do = 610.083858135769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14889201-0.14898788) × cos(0.04791855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998852125952665 × 6371000     		du = 610.086662570374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04801431)-sin(0.04791855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998847534448475-0.998852125952665)×R²
    abs(0.14898788-0.14889201)×4.59150419007681e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.59150419007681e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59150419007681e-06×40589641000000     		ar = 372205.06211404m²