Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34320 / 32276
↖ ↑ ↗
← N  2.701635°
E  8.525391°		 ← 610.11 m → N  2.701635°
E  8.530884°		 →
↑
610.15 m
↓
↑
610.15 m
↓
N  2.696148°
E  8.525391°		 ← 610.11 m →
372 259 m²		 N  2.696148°
E  8.530884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523689270019531 y=0.492500305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523689270019531 × 216)
    floor (0.523689270019531 × 65536)
    floor (34320.5)     		tx = 34320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492500305175781 × 216)
    floor (0.492500305175781 × 65536)
    floor (32276.5)     		ty = 32276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34320 / 32276 ti = "16/34320/32276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34320/32276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34320 ÷ 216
    34320 ÷ 65536     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32276 ÷ 216
    32276 ÷ 65536     		y = 0.49249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49249267578125 × 2 - 1) × π
    0.0150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0471699092261353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0471699092261353))-π/2
    2×atan(1.04830010980916)-π/2
    2×0.808974376783728-π/2
    1.61794875356746-1.57079632675     		φ = 0.04715243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04715243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.701635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34320 KachelY 32276 0.14879614 0.04715243 8.525391 2.701635
    Oben rechts KachelX + 1 34321 KachelY 32276 0.14889201 0.04715243 8.530884 2.701635
    Unten links KachelX 34320 KachelY + 1 32277 0.14879614 0.04705666 8.525391 2.696148
    Unten rechts KachelX + 1 34321 KachelY + 1 32277 0.14889201 0.04705666 8.530884 2.696148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04715243-0.04705666) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dl = 610.150670000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04715243-0.04705666) × R
    9.5770000000002e-05 × 6371000     		dr = 610.150670000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14889201) × cos(0.04715243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998888530127808 × 6371000     		do = 610.108897795328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14889201) × cos(0.04705666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998893039661994 × 6371000     		du = 610.111652163658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04715243)-sin(0.04705666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998888530127808-0.998893039661994)×R²
    abs(0.14889201-0.14879614)×4.50953418673627e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.50953418673627e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50953418673627e-06×40589641000000     		ar = 372259.193337167m²