Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3432 / 3879
↖ ↑ ↗
← S 83.100521°
E121.640625°		 ← 1 174.01 m → S 83.100521°
E121.728516°		 →
↑
1 173.09 m
↓
↑
1 173.09 m
↓
S 83.111071°
E121.640625°		 ← 1 172.22 m →
1 376 171 m²		 S 83.111071°
E121.728516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8380126953125 y=0.9471435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8380126953125 × 212)
    floor (0.8380126953125 × 4096)
    floor (3432.5)     		tx = 3432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9471435546875 × 212)
    floor (0.9471435546875 × 4096)
    floor (3879.5)     		ty = 3879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3432 / 3879 ti = "12/3432/3879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3432/3879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3432 ÷ 212
    3432 ÷ 4096     		x = 0.837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3879 ÷ 212
    3879 ÷ 4096     		y = 0.947021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837890625 × 2 - 1) × π
    0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.947021484375 × 2 - 1) × π
    -0.89404296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.80871882253833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12302941} λ = 2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.80871882253833))-π/2
    2×atan(0.0602821751035242)-π/2
    2×0.0602093132877472-π/2
    0.120418626575494-1.57079632675     		φ = -1.45037770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45037770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.100521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3432 KachelY 3879 2.12302941 -1.45037770 121.640625 -83.100521
    Oben rechts KachelX + 1 3433 KachelY 3879 2.12456339 -1.45037770 121.728516 -83.100521
    Unten links KachelX 3432 KachelY + 1 3880 2.12302941 -1.45056183 121.640625 -83.111071
    Unten rechts KachelX + 1 3433 KachelY + 1 3880 2.12456339 -1.45056183 121.728516 -83.111071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45037770--1.45056183) × R
    0.00018413000000006 × 6371000     		dl = 1173.09223000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45037770--1.45056183) × R
    0.00018413000000006 × 6371000     		dr = 1173.09223000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12302941-2.12456339) × cos(-1.45037770) × R
    0.00153398000000005 × 0.120127813084267 × 6371000     		do = 1174.00750515733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12302941-2.12456339) × cos(-1.45056183) × R
    0.00153398000000005 × 0.119945014438427 × 6371000     		du = 1172.22101644469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45037770)-sin(-1.45056183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.120127813084267-0.119945014438427)×R²
    abs(2.12456339-2.12302941)×0.000182798645840407×R²
    0.00153398000000005×0.000182798645840407×6371000²
    0.00153398000000005×0.000182798645840407×40589641000000     		ar = 1376171.22813288m²