Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3431 / 3881
↖ ↑ ↗
← S 83.121605°
E121.552734°		 ← 1 170.44 m → S 83.121605°
E121.640625°		 →
↑
1 169.52 m
↓
↑
1 169.52 m
↓
S 83.132123°
E121.552734°		 ← 1 168.66 m →
1 367 813 m²		 S 83.132123°
E121.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8377685546875 y=0.9476318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8377685546875 × 212)
    floor (0.8377685546875 × 4096)
    floor (3431.5)     		tx = 3431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9476318359375 × 212)
    floor (0.9476318359375 × 4096)
    floor (3881.5)     		ty = 3881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3431 / 3881 ti = "12/3431/3881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3431/3881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3431 ÷ 212
    3431 ÷ 4096     		x = 0.837646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3881 ÷ 212
    3881 ÷ 4096     		y = 0.947509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837646484375 × 2 - 1) × π
    0.67529296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.12149543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.89501953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.81178678411401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12149543} λ = 2.12149543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.81178678411401))-π/2
    2×atan(0.0600975151163216)-π/2
    2×0.0600253198756048-π/2
    0.12005063975121-1.57079632675     		φ = -1.45074569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12149543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45074569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.121605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3431 KachelY 3881 2.12149543 -1.45074569 121.552734 -83.121605
    Oben rechts KachelX + 1 3432 KachelY 3881 2.12302941 -1.45074569 121.640625 -83.121605
    Unten links KachelX 3431 KachelY + 1 3882 2.12149543 -1.45092926 121.552734 -83.132123
    Unten rechts KachelX + 1 3432 KachelY + 1 3882 2.12302941 -1.45092926 121.640625 -83.132123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45074569--1.45092926) × R
    0.000183570000000133 × 6371000     		dl = 1169.52447000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45074569--1.45092926) × R
    0.000183570000000133 × 6371000     		dr = 1169.52447000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12149543-2.12302941) × cos(-1.45074569) × R
    0.00153398000000005 × 0.119762479782687 × 6371000     		do = 1170.43710770376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12149543-2.12302941) × cos(-1.45092926) × R
    0.00153398000000005 × 0.119580228997558 × 6371000     		du = 1168.6559732265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45074569)-sin(-1.45092926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.119762479782687-0.119580228997558)×R²
    abs(2.12302941-2.12149543)×0.000182250785128901×R²
    0.00153398000000005×0.000182250785128901×6371000²
    0.00153398000000005×0.000182250785128901×40589641000000     		ar = 1367813.30171825m²