Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34263 / 32582
↖ ↑ ↗
← N  1.021674°
E  8.212280°		 ← 610.69 m → N  1.021674°
E  8.217773°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
N  1.016182°
E  8.212280°		 ← 610.69 m →
372 964 m²		 N  1.016182°
E  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522819519042969 y=0.497169494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522819519042969 × 216)
    floor (0.522819519042969 × 65536)
    floor (34263.5)     		tx = 34263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497169494628906 × 216)
    floor (0.497169494628906 × 65536)
    floor (32582.5)     		ty = 32582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34263 / 32582 ti = "16/34263/32582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34263/32582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34263 ÷ 216
    34263 ÷ 65536     		x = 0.522811889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32582 ÷ 216
    32582 ÷ 65536     		y = 0.497161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522811889648438 × 2 - 1) × π
    0.045623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14333133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497161865234375 × 2 - 1) × π
    0.00567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0178325266586609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14333133} λ = 0.14333133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0178325266586609))-π/2
    2×atan(1.01799247551168)-π/2
    2×0.794313954203863-π/2
    1.58862790840773-1.57079632675     		φ = 0.01783158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14333133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.212280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01783158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.021674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34263 KachelY 32582 0.14333133 0.01783158 8.212280 1.021674
    Oben rechts KachelX + 1 34264 KachelY 32582 0.14342720 0.01783158 8.217773 1.021674
    Unten links KachelX 34263 KachelY + 1 32583 0.14333133 0.01773572 8.212280 1.016182
    Unten rechts KachelX + 1 34264 KachelY + 1 32583 0.14342720 0.01773572 8.217773 1.016182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01783158-0.01773572) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01783158-0.01773572) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14333133-0.14342720) × cos(0.01783158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999841021589886 × 6371000     		do = 610.690667931395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14333133-0.14342720) × cos(0.01773572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99984272624072 × 6371000     		du = 610.691709111276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01783158)-sin(0.01773572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999841021589886-0.99984272624072)×R²
    abs(0.14342720-0.14333133)×1.70465083337845e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.70465083337845e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70465083337845e-06×40589641000000     		ar = 372963.802345569m²