Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34254 / 32723
↖ ↑ ↗
← N  0.247192°
E  8.162842°		 ← 610.78 m → N  0.247192°
E  8.168335°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
N  0.241698°
E  8.162842°		 ← 610.78 m →
373 097 m²		 N  0.241698°
E  8.168335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522682189941406 y=0.499320983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522682189941406 × 216)
    floor (0.522682189941406 × 65536)
    floor (34254.5)     		tx = 34254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499320983886719 × 216)
    floor (0.499320983886719 × 65536)
    floor (32723.5)     		ty = 32723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34254 / 32723 ti = "16/34254/32723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34254/32723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34254 ÷ 216
    34254 ÷ 65536     		x = 0.522674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32723 ÷ 216
    32723 ÷ 65536     		y = 0.499313354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522674560546875 × 2 - 1) × π
    0.04534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14246847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499313354492188 × 2 - 1) × π
    0.001373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00431432096580505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14246847} λ = 0.14246847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00431432096580505))-π/2
    2×atan(1.00432364104696)-π/2
    2×0.787555317188379-π/2
    1.57511063437676-1.57079632675     		φ = 0.00431431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14246847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.162842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00431431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.247192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34254 KachelY 32723 0.14246847 0.00431431 8.162842 0.247192
    Oben rechts KachelX + 1 34255 KachelY 32723 0.14256434 0.00431431 8.168335 0.247192
    Unten links KachelX 34254 KachelY + 1 32724 0.14246847 0.00421843 8.162842 0.241698
    Unten rechts KachelX + 1 34255 KachelY + 1 32724 0.14256434 0.00421843 8.168335 0.241698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00431431-0.00421843) × R
    9.58800000000004e-05 × 6371000     		dl = 610.851480000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00431431-0.00421843) × R
    9.58800000000004e-05 × 6371000     		dr = 610.851480000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14246847-0.14256434) × cos(0.00431431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999990693379048 × 6371000     		do = 610.782085629729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14246847-0.14256434) × cos(0.00421843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999991102437362 × 6371000     		du = 610.782335477545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00431431)-sin(0.00421843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999990693379048-0.999991102437362)×R²
    abs(0.14256434-0.14246847)×4.09058314443378e-07×R²
    9.58699999999979e-05×4.09058314443378e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09058314443378e-07×40589641000000     		ar = 373097.217560186m²