Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34252 / 32588
↖ ↑ ↗
← N  0.988721°
E  8.151856°		 ← 610.70 m → N  0.988721°
E  8.157349°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
N  0.983228°
E  8.151856°		 ← 610.70 m →
372 968 m²		 N  0.983228°
E  8.157349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522651672363281 y=0.497261047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522651672363281 × 216)
    floor (0.522651672363281 × 65536)
    floor (34252.5)     		tx = 34252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497261047363281 × 216)
    floor (0.497261047363281 × 65536)
    floor (32588.5)     		ty = 32588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34252 / 32588 ti = "16/34252/32588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34252/32588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34252 ÷ 216
    34252 ÷ 65536     		x = 0.52264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32588 ÷ 216
    32588 ÷ 65536     		y = 0.49725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52264404296875 × 2 - 1) × π
    0.0452880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14227672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49725341796875 × 2 - 1) × π
    0.0054931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0172572838632202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14227672} λ = 0.14227672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0172572838632202))-π/2
    2×atan(1.01740705107107)-π/2
    2×0.794026377072769-π/2
    1.58805275414554-1.57079632675     		φ = 0.01725643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14227672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.151856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01725643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.988721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34252 KachelY 32588 0.14227672 0.01725643 8.151856 0.988721
    Oben rechts KachelX + 1 34253 KachelY 32588 0.14237259 0.01725643 8.157349 0.988721
    Unten links KachelX 34252 KachelY + 1 32589 0.14227672 0.01716057 8.151856 0.983228
    Unten rechts KachelX + 1 34253 KachelY + 1 32589 0.14237259 0.01716057 8.157349 0.983228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01725643-0.01716057) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01725643-0.01716057) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14227672-0.14237259) × cos(0.01725643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999851111506605 × 6371000     		do = 610.696830729127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14227672-0.14237259) × cos(0.01716057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999852761031998 × 6371000     		du = 610.697838239064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01725643)-sin(0.01716057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999851111506605-0.999852761031998)×R²
    abs(0.14237259-0.14227672)×1.64952539360996e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.64952539360996e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64952539360996e-06×40589641000000     		ar = 372967.5558329m²