Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34251 / 32584
↖ ↑ ↗
← N  1.010690°
E  8.146362°		 ← 610.76 m → N  1.010690°
E  8.151856°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
N  1.005198°
E  8.146362°		 ← 610.76 m →
372 965 m²		 N  1.005198°
E  8.151856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522636413574219 y=0.497200012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522636413574219 × 216)
    floor (0.522636413574219 × 65536)
    floor (34251.5)     		tx = 34251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497200012207031 × 216)
    floor (0.497200012207031 × 65536)
    floor (32584.5)     		ty = 32584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34251 / 32584 ti = "16/34251/32584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34251/32584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34251 ÷ 216
    34251 ÷ 65536     		x = 0.522628784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32584 ÷ 216
    32584 ÷ 65536     		y = 0.4971923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522628784179688 × 2 - 1) × π
    0.045257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14218084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4971923828125 × 2 - 1) × π
    0.005615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0176407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14218084} λ = 0.14218084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0176407790601807))-π/2
    2×atan(1.01779729661237)-π/2
    2×0.794218095483207-π/2
    1.58843619096641-1.57079632675     		φ = 0.01763986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14218084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.146362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01763986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.010690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34251 KachelY 32584 0.14218084 0.01763986 8.146362 1.010690
    Oben rechts KachelX + 1 34252 KachelY 32584 0.14227672 0.01763986 8.151856 1.010690
    Unten links KachelX 34251 KachelY + 1 32585 0.14218084 0.01754401 8.146362 1.005198
    Unten rechts KachelX + 1 34252 KachelY + 1 32585 0.14227672 0.01754401 8.151856 1.005198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01763986-0.01754401) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01763986-0.01754401) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14218084-0.14227672) × cos(0.01763986) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999844421703859 × 6371000     		do = 610.756444767499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14218084-0.14227672) × cos(0.01754401) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999846107803857 × 6371000     		du = 610.757474724179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01763986)-sin(0.01754401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999844421703859-0.999846107803857)×R²
    abs(0.14227672-0.14218084)×1.68609999806613e-06×R²
    9.58799999999926e-05×1.68609999806613e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.68609999806613e-06×40589641000000     		ar = 372965.059088872m²