Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34247 / 32580
↖ ↑ ↗
← N  1.032659°
E  8.124390°		 ← 610.69 m → N  1.032659°
E  8.129883°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
N  1.027167°
E  8.124390°		 ← 610.69 m →
372 963 m²		 N  1.027167°
E  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522575378417969 y=0.497138977050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522575378417969 × 216)
    floor (0.522575378417969 × 65536)
    floor (34247.5)     		tx = 34247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497138977050781 × 216)
    floor (0.497138977050781 × 65536)
    floor (32580.5)     		ty = 32580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34247 / 32580 ti = "16/34247/32580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34247/32580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34247 ÷ 216
    34247 ÷ 65536     		x = 0.522567749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32580 ÷ 216
    32580 ÷ 65536     		y = 0.49713134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522567749023438 × 2 - 1) × π
    0.045135498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14179735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49713134765625 × 2 - 1) × π
    0.0057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0180242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14179735} λ = 0.14179735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0180242742571411))-π/2
    2×atan(1.01818769183967)-π/2
    2×0.79440981259678-π/2
    1.58881962519356-1.57079632675     		φ = 0.01802330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14179735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.124390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01802330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.032659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34247 KachelY 32580 0.14179735 0.01802330 8.124390 1.032659
    Oben rechts KachelX + 1 34248 KachelY 32580 0.14189322 0.01802330 8.129883 1.032659
    Unten links KachelX 34247 KachelY + 1 32581 0.14179735 0.01792744 8.124390 1.027167
    Unten rechts KachelX + 1 34248 KachelY + 1 32581 0.14189322 0.01792744 8.129883 1.027167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01802330-0.01792744) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01802330-0.01792744) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14179735-0.14189322) × cos(0.01802330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999837584725199 × 6371000     		do = 610.688568736477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14179735-0.14189322) × cos(0.01792744) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999839307751374 × 6371000     		du = 610.689621139792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01802330)-sin(0.01792744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999837584725199-0.999839307751374)×R²
    abs(0.14189322-0.14179735)×1.72302617507114e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.72302617507114e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72302617507114e-06×40589641000000     		ar = 372962.523743944m²