Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34247 / 32578
↖ ↑ ↗
← N  1.043643°
E  8.124390°		 ← 610.69 m → N  1.043643°
E  8.129883°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
N  1.038151°
E  8.124390°		 ← 610.69 m →
372 922 m²		 N  1.038151°
E  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522575378417969 y=0.497108459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522575378417969 × 216)
    floor (0.522575378417969 × 65536)
    floor (34247.5)     		tx = 34247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497108459472656 × 216)
    floor (0.497108459472656 × 65536)
    floor (32578.5)     		ty = 32578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34247 / 32578 ti = "16/34247/32578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34247/32578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34247 ÷ 216
    34247 ÷ 65536     		x = 0.522567749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32578 ÷ 216
    32578 ÷ 65536     		y = 0.497100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522567749023438 × 2 - 1) × π
    0.045135498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14179735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.497100830078125 × 2 - 1) × π
    0.00579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0182160218556213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14179735} λ = 0.14179735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0182160218556213))-π/2
    2×atan(1.0183829456035)-π/2
    2×0.794505670658436-π/2
    1.58901134131687-1.57079632675     		φ = 0.01821501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14179735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.124390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01821501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.043643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34247 KachelY 32578 0.14179735 0.01821501 8.124390 1.043643
    Oben rechts KachelX + 1 34248 KachelY 32578 0.14189322 0.01821501 8.129883 1.043643
    Unten links KachelX 34247 KachelY + 1 32579 0.14179735 0.01811916 8.124390 1.038151
    Unten rechts KachelX + 1 34248 KachelY + 1 32579 0.14189322 0.01811916 8.129883 1.038151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01821501-0.01811916) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01821501-0.01811916) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14179735-0.14189322) × cos(0.01821501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999834111292063 × 6371000     		do = 610.686447205998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14179735-0.14189322) × cos(0.01811916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999835852511377 × 6371000     		du = 610.687510721459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01821501)-sin(0.01811916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999834111292063-0.999835852511377)×R²
    abs(0.14189322-0.14179735)×1.7412193132893e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.7412193132893e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7412193132893e-06×40589641000000     		ar = 372922.324599946m²