Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3424 / 3872
↖ ↑ ↗
← S 83.026219°
E120.937500°		 ← 1 186.59 m → S 83.026219°
E121.025390°		 →
↑
1 185.71 m
↓
↑
1 185.71 m
↓
S 83.036882°
E120.937500°		 ← 1 184.78 m →
1 405 876 m²		 S 83.036882°
E121.025390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8360595703125 y=0.9454345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8360595703125 × 212)
    floor (0.8360595703125 × 4096)
    floor (3424.5)     		tx = 3424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9454345703125 × 212)
    floor (0.9454345703125 × 4096)
    floor (3872.5)     		ty = 3872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3424 / 3872 ti = "12/3424/3872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3424/3872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3424 ÷ 212
    3424 ÷ 4096     		x = 0.8359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3872 ÷ 212
    3872 ÷ 4096     		y = 0.9453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8359375 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.11075756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9453125 × 2 - 1) × π
    -0.890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.79798095702344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11075756} λ = 2.11075756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79798095702344))-π/2
    2×atan(0.0609329647856864)-π/2
    2×0.0608577211652698-π/2
    0.12171544233054-1.57079632675     		φ = -1.44908088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11075756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44908088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.026219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3424 KachelY 3872 2.11075756 -1.44908088 120.937500 -83.026219
    Oben rechts KachelX + 1 3425 KachelY 3872 2.11229154 -1.44908088 121.025390 -83.026219
    Unten links KachelX 3424 KachelY + 1 3873 2.11075756 -1.44926699 120.937500 -83.036882
    Unten rechts KachelX + 1 3425 KachelY + 1 3873 2.11229154 -1.44926699 121.025390 -83.036882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44908088--1.44926699) × R
    0.000186110000000017 × 6371000     		dl = 1185.70681000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44908088--1.44926699) × R
    0.000186110000000017 × 6371000     		dr = 1185.70681000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11075756-2.11229154) × cos(-1.44908088) × R
    0.00153398000000005 × 0.121415140703967 × 6371000     		do = 1186.58854070872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11075756-2.11229154) × cos(-1.44926699) × R
    0.00153398000000005 × 0.121230405478476 × 6371000     		du = 1184.78312582914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44908088)-sin(-1.44926699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121415140703967-0.121230405478476)×R²
    abs(2.11229154-2.11075756)×0.000184735225490965×R²
    0.00153398000000005×0.000184735225490965×6371000²
    0.00153398000000005×0.000184735225490965×40589641000000     		ar = 1405875.77108565m²