Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3424 / 3807
↖ ↑ ↗
← S 82.297121°
E120.937500°		 ← 1 309.93 m → S 82.297121°
E121.025390°		 →
↑
1 308.92 m
↓
↑
1 308.92 m
↓
S 82.308893°
E120.937500°		 ← 1 307.94 m →
1 713 296 m²		 S 82.308893°
E121.025390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8360595703125 y=0.9295654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8360595703125 × 212)
    floor (0.8360595703125 × 4096)
    floor (3424.5)     		tx = 3424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9295654296875 × 212)
    floor (0.9295654296875 × 4096)
    floor (3807.5)     		ty = 3807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3424 / 3807 ti = "12/3424/3807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3424/3807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3424 ÷ 212
    3424 ÷ 4096     		x = 0.8359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3807 ÷ 212
    3807 ÷ 4096     		y = 0.929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8359375 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.11075756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929443359375 × 2 - 1) × π
    -0.85888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.69827220581372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11075756} λ = 2.11075756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69827220581372))-π/2
    2×atan(0.0673217304051389)-π/2
    2×0.0672203005563321-π/2
    0.134440601112664-1.57079632675     		φ = -1.43635573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11075756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43635573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.297121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3424 KachelY 3807 2.11075756 -1.43635573 120.937500 -82.297121
    Oben rechts KachelX + 1 3425 KachelY 3807 2.11229154 -1.43635573 121.025390 -82.297121
    Unten links KachelX 3424 KachelY + 1 3808 2.11075756 -1.43656118 120.937500 -82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 3425 KachelY + 1 3808 2.11229154 -1.43656118 121.025390 -82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43635573--1.43656118) × R
    0.00020544999999994 × 6371000     		dl = 1308.92194999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43635573--1.43656118) × R
    0.00020544999999994 × 6371000     		dr = 1308.92194999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11075756-2.11229154) × cos(-1.43635573) × R
    0.00153398000000005 × 0.134035976596838 × 6371000     		do = 1309.93180051813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11075756-2.11229154) × cos(-1.43656118) × R
    0.00153398000000005 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 1307.94203078635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43635573)-sin(-1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134035976596838-0.133832377654437)×R²
    abs(2.11229154-2.11075756)×0.000203598942400851×R²
    0.00153398000000005×0.000203598942400851×6371000²
    0.00153398000000005×0.000203598942400851×40589641000000     		ar = 1713296.26608893m²