Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34212 / 32668
↖ ↑ ↗
← N  0.549308°
E  7.932129°		 ← 610.76 m → N  0.549308°
E  7.937622°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.543815°
E  7.932129°		 ← 610.76 m →
373 045 m²		 N  0.543815°
E  7.937622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522041320800781 y=0.498481750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522041320800781 × 216)
    floor (0.522041320800781 × 65536)
    floor (34212.5)     		tx = 34212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498481750488281 × 216)
    floor (0.498481750488281 × 65536)
    floor (32668.5)     		ty = 32668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34212 / 32668 ti = "16/34212/32668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34212/32668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34212 ÷ 216
    34212 ÷ 65536     		x = 0.52203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32668 ÷ 216
    32668 ÷ 65536     		y = 0.49847412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52203369140625 × 2 - 1) × π
    0.0440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13844177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49847412109375 × 2 - 1) × π
    0.0030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13844177} λ = 0.13844177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00958737992401123))-π/2
    2×atan(1.00963348607886)-π/2
    2×0.790191779923526-π/2
    1.58038355984705-1.57079632675     		φ = 0.00958723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13844177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00958723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.549308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34212 KachelY 32668 0.13844177 0.00958723 7.932129 0.549308
    Oben rechts KachelX + 1 34213 KachelY 32668 0.13853764 0.00958723 7.937622 0.549308
    Unten links KachelX 34212 KachelY + 1 32669 0.13844177 0.00949136 7.932129 0.543815
    Unten rechts KachelX + 1 34213 KachelY + 1 32669 0.13853764 0.00949136 7.937622 0.543815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00958723-0.00949136) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00958723-0.00949136) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13844177-0.13853764) × cos(0.00958723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999954042862478 × 6371000     		do = 610.759699942444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13844177-0.13853764) × cos(0.00949136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999954957380819 × 6371000     		du = 610.760258519062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00958723)-sin(0.00949136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999954042862478-0.999954957380819)×R²
    abs(0.13853764-0.13844177)×9.14518341277315e-07×R²
    9.58699999999979e-05×9.14518341277315e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.14518341277315e-07×40589641000000     		ar = 373044.726005318m²