Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34212 / 32612
↖ ↑ ↗
← N  0.856902°
E  7.932129°		 ← 610.72 m → N  0.856902°
E  7.937622°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.851409°
E  7.932129°		 ← 610.72 m →
373 020 m²		 N  0.851409°
E  7.937622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522041320800781 y=0.497627258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522041320800781 × 216)
    floor (0.522041320800781 × 65536)
    floor (34212.5)     		tx = 34212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497627258300781 × 216)
    floor (0.497627258300781 × 65536)
    floor (32612.5)     		ty = 32612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34212 / 32612 ti = "16/34212/32612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34212/32612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34212 ÷ 216
    34212 ÷ 65536     		x = 0.52203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32612 ÷ 216
    32612 ÷ 65536     		y = 0.49761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52203369140625 × 2 - 1) × π
    0.0440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13844177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49761962890625 × 2 - 1) × π
    0.0047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0149563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13844177} λ = 0.13844177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0149563126814575))-π/2
    2×atan(1.01506871801661)-π/2
    2×0.792876040954029-π/2
    1.58575208190806-1.57079632675     		φ = 0.01495576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13844177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01495576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.856902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34212 KachelY 32612 0.13844177 0.01495576 7.932129 0.856902
    Oben rechts KachelX + 1 34213 KachelY 32612 0.13853764 0.01495576 7.937622 0.856902
    Unten links KachelX 34212 KachelY + 1 32613 0.13844177 0.01485989 7.932129 0.851409
    Unten rechts KachelX + 1 34213 KachelY + 1 32613 0.13853764 0.01485989 7.937622 0.851409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01495576-0.01485989) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01495576-0.01485989) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13844177-0.13853764) × cos(0.01495576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999888164705996 × 6371000     		do = 610.719462370154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13844177-0.13853764) × cos(0.01485989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99988959386624 × 6371000     		du = 610.720335283753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01495576)-sin(0.01485989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999888164705996-0.99988959386624)×R²
    abs(0.13853764-0.13844177)×1.4291602440375e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.4291602440375e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4291602440375e-06×40589641000000     		ar = 373020.245384841m²