Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34209 / 32926
↖ ↑ ↗
← S  0.867887°
E  7.915649°		 ← 610.78 m → S  0.867887°
E  7.921143°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.873379°
E  7.915649°		 ← 610.78 m →
373 019 m²		 S  0.873379°
E  7.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521995544433594 y=0.502418518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521995544433594 × 216)
    floor (0.521995544433594 × 65536)
    floor (34209.5)     		tx = 34209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502418518066406 × 216)
    floor (0.502418518066406 × 65536)
    floor (32926.5)     		ty = 32926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34209 / 32926 ti = "16/34209/32926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34209/32926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34209 ÷ 216
    34209 ÷ 65536     		x = 0.521987915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32926 ÷ 216
    32926 ÷ 65536     		y = 0.502410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521987915039062 × 2 - 1) × π
    0.043975830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13815414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.00482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0151480602799377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13815414} λ = 0.13815414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0151480602799377))-π/2
    2×atan(0.984966094450718)-π/2
    2×0.777824422901732-π/2
    1.55564884580346-1.57079632675     		φ = -0.01514748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13815414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.915649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01514748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.867887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34209 KachelY 32926 0.13815414 -0.01514748 7.915649 -0.867887
    Oben rechts KachelX + 1 34210 KachelY 32926 0.13825002 -0.01514748 7.921143 -0.867887
    Unten links KachelX 34209 KachelY + 1 32927 0.13815414 -0.01524334 7.915649 -0.873379
    Unten rechts KachelX + 1 34210 KachelY + 1 32927 0.13825002 -0.01524334 7.921143 -0.873379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01514748--0.01524334) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01514748--0.01524334) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13815414-0.13825002) × cos(-0.01514748) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999885279118372 × 6371000     		do = 610.781402579624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13815414-0.13825002) × cos(-0.01524334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999883822542425 × 6371000     		du = 610.780512828051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01514748)-sin(-0.01524334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999885279118372-0.999883822542425)×R²
    abs(0.13825002-0.13815414)×1.45657594652349e-06×R²
    9.58799999999926e-05×1.45657594652349e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.45657594652349e-06×40589641000000     		ar = 373018.626545222m²